Kezdőlap


Feladat:	B.3483	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/szeptember, 336 - 337. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Téglalapok, Szögfelező egyenes, Helyvektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: B.3483

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük el a téglalapot egy koordinátarendszerben úgy, hogy a $C$ csúcsa az origóba essék, $B$ és $D$ csúcsának koordinátái legyenek $B (b; 0)$ és $D (0; d)$ . Ekkor $A (b; d)$ , az $A B$ szakasz $F$ felezőpontjára pedig $F (b; \frac{d}{2})$ adódik.

P

C

-ből induló szögfelezőn van, koordinátái tehát egyenlők:

P (p; p)

; a

P

vetülete a

B C

egyenesre

Q (p; 0)

.
A

\vec{P F}

vektor:

\vec{P F} (b - p; \frac{d}{2} - p)

, a

\vec{D Q}

vektor pedig:

\vec{D Q} (p; - d)

. Ha ez a két vektor merőleges, akkor a skalárszorzatuk 0:

\begin{matrix} (b - p) p - d (\frac{d}{2} - p) = 0. \end{matrix}

A beszorzást elvégezve,

- 2

-vel szorozva és mindkét oldalhoz

b^{2}

-et adva:

\begin{matrix} b^{2} - 2 b p + p^{2} + d^{2} - 2 d p + p^{2} = b^{2}, \end{matrix}

azaz

{(b - p)}^{2} + {(d - p)}^{2} = b^{2}

, vagyis

A P^{2} = B C^{2}

adódik.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk, továbbá az is látszik, hogy az állítás megfordítása is igaz: ha

A P = B C

, akkor a

P F

egyenes merőleges a

D Q

egyenesre.

Megjegyzés: Ha elemi geometriai eszközökkel oldjuk meg a feladatot, akkor a

P

elhelyezkedésétől függően alakulnak a különböző mennyiségek, a bizonyítás nehézkes esetszétválasztást igényel. Az egységes koordinátageometriai megközelítés jól mutatja ennek az eszköznek az erejét.