Kezdőlap


Feladat:	C.659	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bene Gyula
Füzet:	2002/szeptember, 335 - 336. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/január: C.659

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át az egyenletet az alábbi módon:

\begin{matrix} sin [(x + \frac{t}{2}) + \frac{t}{2}] + sin [(x + \frac{t}{2}) - \frac{t}{2}] = 1. \end{matrix}

A szögek összegének, illetve különbségének szinuszára ismert azonosság szerint tovább alakíthatjuk az egyenletet:

\begin{matrix} sin (x + \frac{t}{2}) cos \frac{t}{2} + cos (x + \frac{t}{2}) sin \frac{t}{2} + sin (x + \frac{t}{2}) cos \frac{t}{2} - cos (x + \frac{t}{2}) sin \frac{t}{2} = 1. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 2 sin (x + \frac{t}{2}) cos \frac{t}{2} = 1. \end{matrix}

Nincs megoldása az egyenletnek, ha

cos \frac{t}{2} = 0

, vagyis ha

t = π

.
Ha

t \neq π

, rendezzük át az egyenletet:

\begin{matrix} sin (x + \frac{t}{2}) = \frac{1}{2 \cdot cos \frac{t}{2}} . \end{matrix}

A feltétel szerint most

0 \leq \frac{t}{2} < \frac{π}{2}

, azért a jobb oldal pozitív és

sin (x + \frac{t}{2}) \leq 1

miatt pontosan akkor van megoldás, ha

\begin{matrix} 2 cos \frac{t}{2} \geq 1. \end{matrix}

Innen

cos \frac{t}{2} \geq \frac{1}{2}

, ami a megadott intervallumon akkor teljesül, ha

\frac{t}{2} \leq \frac{π}{3}

. Ekkor

\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2 cos \frac{t}{2}} \leq 1

és ilyen értékekre van olyan

x

, amelyre

sin (x + \frac{t}{2}) = \frac{1}{2 cos \frac{t}{2}}

.
Pontosan akkor nincs tehát megoldása az egyenletnek, ha

\frac{2 π}{3} < t \leq π

Bene Gyula (Budapest, Egy. Kat. Gimn., 9. évf.)