|
Feladat: |
B.3507 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Dúró Dóra , Eckert Bernadett , Hargitai Gábor , Hartmann Zoltán , Juhász Máté Lehel , Kocsis Albert Tihamér , Nagy Szabolcs , Pál Ágnes , Puskás Anna , Rácz Béla András , Sali András , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Simon Balázs , Spanczér Ilona , Tábor Áron , Tóth János |
Füzet: |
2002/május,
289 - 291. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Polinomok oszthatósága, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2001/december: B.3507 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen , ahol egészek. Ha tetszőleges szám, akkor -et mindig átírhatjuk hatványai szerint: | | Itt nyilván és . A együtthatók már nem feltétlenül egészek; ha azonban egész szám, akkor mindegyik is egész, hiszen ezek az eredeti együtthatókból és -ból kaphatók meg néhány összeadás és szorzás (az hatványozások elvégzése és rendezés) eredményeként. Ugyanígy látható az is, hogy ha racionális szám ( és egészek), akkor legalábbis értéke egész, minden -re. Alkalmazzuk észrevételeinket először arra az esetre, amikor egész szám. Az elmondottak szerint ekkor | | ahol a együtthatók egészek, és . Ha és egymáshoz relatív prím egészek és , akkor | | Az utóbbi egyenlőség jobb oldalán egy kivételével mindegyik tagból kiemelhető ; mivel az összeg értéke nulla, azért az utolsó tag is osztható -val: Feltevésünk szerint és relatív prímek, így is relatív prím -hoz, tehát -hez is; ezért a kapott oszthatóság csak úgy teljesülhet, ha valóban . Megmutatjuk, hogy az állítás megfordítása is igaz; ehhez tegyük fel, hogy és olyan egészek, hogy a oszthatóság minden egészre teljesül. Írjuk át az polinomot ezúttal hatványai szerint: | | ahol tehát , és a együtthatók -szeresei egész számok. Ezt felhasználandó szorozzuk az egyenlőség mindkét oldalát -nel: | | így minden egész számra | | Feltettük, hogy a bal oldalon álló osztható -val, a jobb oldalon pedig az utolsó kivételével mindegyik tagból kiemelhető ; ezért az utolsó tag, is osztható -val. Ez minden egészre fönnáll, tehát ( szerint) a számnak végtelen sok osztója van. Ez csak úgy lehet, ha , vagyis .
Megjegyzések: 1. A bizonyítás első részében lényegében azt használtuk fel, hogy ha gyöke az polinomnak, akkor gyöke a polinomnak. Az állítás első része így egyszerű következménye annak az ismert eredménynek, hogy egy egész együtthatós polinom racionális gyökének egyszerűsített alakjában a számláló osztója a polinom konstans tagjának, ami a polinom 0 helyen vett helyettesítési értéke. Az állítás egyébként a speciális esetben éppen ezt adja. 2. Az idézett eredménnyel együtt szokás kimondani, hogy a racionális gyök nevezője, , osztója a főegyütthatónak. E két feltétel együttesen is csak szükséges ahhoz, hogy az egyszerűsített alakban felírt gyöke legyen az polinomnak, egy szükséges és elégséges feltételt épp a feladat mond ki.
|
|