A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Írjuk fel -et annak alapján, ahogyan az írásbeli szorzást elvégezzük. Ennek során darab 1-est írunk le, sor mindegyikében darabot, soronként egy helyiértékkel eltolva. kiszámításakor oszloponként összeadjuk a felírt 1-eseket, majd az átvitelek figyelembevételével kapott számjegyeket összegezzük. kiszámításakor soronként adjuk össze az 1-eseket, majd az így kapott darab összeg ‐ mindegyikük értéke ‐ összegét vesszük. A különbséget az esetleges átvitelek okozzák, az első esetben ilyenkor az adott oszlopban lévő egyesek összege helyett ennek az összegnek csak az egyes helyiértéken lévő részét írjuk le, az összeg további részének -ét a következő helyiértéken álló számhoz adjuk. Ilyen veszteség minden egyes átvitel során föllép, átvitelre pedig akkor kerül sor, ha van olyan oszlop, ahol legalább tíz darab 1-es áll, vagyis a értéke legalább 10. Ekkor tehát . Ha viszont , akkor éppen a fenti gondolatmenet mutatja, hogy ugyanazt a mennyiséget számoljuk ki oszloponként, illetve soronként, tehát ekkor .
Kovács Péter (Debrecen, DE Kossuth Lajos Gyakorló Gimn., 8. évf.) |
II. megoldás. A darab 1-essel felírt szám jegyeinek az összege, , azért a feltétel az alakot ölti. Vizsgáljuk meg, hogy hány jegye van -nek. Mivel , azért és így jegyeinek száma . Innen felső becslést kaphatunk értékére: mivel egy számjegy legfeljebb 9, így . Ez azt jelenti, hogy a megfelelő értékekre | | azaz . Így öszesen 17 esetet kell megvizsgálnunk, ezeket egyenként végignézve kapjuk, hogy ha , akkor teljesül a feltétel, ha pedig , akkor . A megfelelő értékeket az alábbi táblázat tartalmazza:
Zavarkó Gábor (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., 12. évf.) |
Megjegyzés. Némi ügyeskedéssel tovább korlátozható a ,,kézzel'' ellenőrzött k értékek száma. Backhausz Ágnes, a budapesti Fazekas Mihály Gimnázium 11. osztályos tanulója a következőképpen okoskodott: Az Un+k=Uk+10kUn azonosságból következik, hogy | Un+k2=Uk2+2⋅10kUkUn+102kUn2. | Ez azt jelenti, hogy Un+k2 és Uk2 utolsó k számjegye egyenlő. Kiszámolva U122 értékét az utolsó 12 számjegy 320987654321, ezek összege pedig 50. Ez azt jelenti, hogy ha k≥12, akkor Uk2=...320987654321 alakú, ebben az esetben pedig a (2k-1)-jegyű Uk2 jegyeinek az összege legfeljebb 50+(2k-1-12)⋅9=18k-67. Innen az S(Uk)2=S(Uk2) fennállásához szükséges k2≤18k-67 feltételt kapjuk, ahonnan k<13 adódik. Ez pedig azt jelenti, hogy a feladat feltétele nem teljesülhet, ha k≥13.
III. megoldás. Ha a és b nemnegatív egészek, akkor az összeadás algoritmusa következményeként kapjuk, hogy Mivel Uk=10Uk-1+1, ezért Uk2=100Uk-12+20Uk-1+1. Innen (1) felhasználásával | S(Uk2)≤S(100Uk-12)+S(20Uk-1)+1=S(Uk-12)+S(2Uk-1)+1==S(Uk-12)+2(k-1)+1, | azaz Innen egyrészt a k-ra vonatkozó teljes indukcióval nyomban adódik, hogy Másrészt ha egy adott k-ra S(Uk2)=k2, akkor (2) szerint azaz S(Uk-12)≥k2-2k+1=(k-1)2, amit (3)-mal egybevetve Ez azt jelenti, hogy ha van olyan k0, amelyre (3)-ban egyenlőség teljesül, akkor ugyanez minden k<k0 esetén is igaz. Hasonlóan kapjuk (2) fölhasználásával, hogy ha van olyan k0, amelyre (3)-ban határozott egyenlőtlenség áll, akkor ugyanez minden k>k0 esetén is teljesül. Ha kiszámoljuk, akkor S(U92)=92 és S(U102)=82<102. A fentiek szerint ez azt jelenti, hogy | S(Uk2)=S(Uk)2,ha1≤k≤9ésS(Uk2)<S(Uk)2,ha10≤k. |
Antal Ágnes (Budapest, Apáczai Csere János Gimn., 12. évf.) |
|