Kezdőlap


Feladat:	B.3494	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Ágnes
Füzet:	2002/május, 281. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/november: B.3494

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Vite-féle összefüggések alapján felírjuk az $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ egyenlet $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket:

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} = \frac{c}{a}, x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a} . \end{matrix}

Az eredeti állítással ekvivalens állítást látunk be.
Mivel

a

nem nulla, azért a

b c < 3 a d

egyenlőtlenséget

- a^{2}

-tel osztva a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

\begin{matrix} - \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{a} > 3 (- \frac{d}{a}) . \end{matrix}

Felhasználva a gyökök és együtthatók között felírt összefüggéseket a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

(x_{1} + x_{2} + x_{3}) (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3}) > 3 x_{1} x_{2} x_{3} .

Ezt rendezve a következő, az eredeti állítással ekvivalens állítás adódik:

\begin{matrix} x_{1}^{2} (x_{2} + x_{3}) + x_{2}^{2} (x_{1} + x_{3}) + x_{3}^{2} (x_{1} + x_{2}) > 0, \end{matrix}

ami a feltétel miatt nyilván igaz, ezért az állítás is igaz.

Bartha Ágnes (Kézdivásárhely, Nagy Mózes Líceum, 12. évf.)