Kezdőlap


Feladat:	C.654	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Metzing András
Füzet:	2002/május, 279 - 280. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszög területe, Szögfelező egyenes, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/december: C.654

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ háromszög $C$ -ből induló szögfelezője $f_{c}$ . Fejezzük ki $f_{c}$ -t a háromszög oldalainak segítségével.

f_{c}

szögfelező a

C

oldalt

x

és

c - x

hosszúságú részekre osztja az ábra szerint, a

C

csúcsnál lévő szög

γ

. Mint ismeretes,

\begin{matrix} x = \frac{a c}{a + b}, c - x = \frac{b c}{a + b} . \end{matrix}

Írjuk fel a részháromszögekre a koszinusz tételt:

\begin{matrix} x^{2} = a^{2} + f_{c}^{2} - 2 a f_{c} cos \frac{γ}{2}, {(c - x)}^{2} = b^{2} + f_{c}^{2} - 2 b f_{c} cos \frac{γ}{2} . \end{matrix}

A két egyenletből fejezzük ki

cos \frac{γ}{2}

-t. A két kifejezés egyenlőségéből egyszerűsítés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} b (a^{2} + f_{c}^{2} - x^{2}) = a (b^{2} + f_{c}^{2} - {(c - x)}^{2}) . \end{matrix}

Helyettesítsük be az

x

és

c - x

előbb kapott értékeit:

\begin{matrix} b (a^{2} + f_{c}^{2} - {(\frac{a c}{a + b})}^{2}) = a (b^{2} + f_{c}^{2} - {(\frac{b c}{a + b})}^{2}) . \end{matrix}

Innen

f_{c}

kifejezhető. A műveletek elvégzése és egyszerűsítés után, valamint felhasználva az

s = \frac{a + b + c}{2}

jelölést, kapjuk, hogy

\begin{matrix} f_{c} = \sqrt[]{\frac{4 a b \cdot s (s - c)}{{(a + b)}^{2}}} . \end{matrix}

A betűk ciklikus cseréjével hasonló összefüggést írhatunk fel az

f_{a}

és

f_{b}

szögfelezőkre is.
Írjuk fel az

f_{a} f_{b} f_{c}

szorzatot:

\begin{matrix} f_{a} f_{b} f_{c} = \sqrt[]{\frac{4 a c \cdot s (s - b) \cdot 4 a b \cdot s (s - c) \cdot 4 b c \cdot s (s - a)}{{(c + a)}^{2} \cdot {(b + c)}^{2} \cdot {(a + b)}^{2}}} . \end{matrix}

A számlálóból kiemelhetjük a

8 s \cdot a b c

-t, a nevező tényezőiből pedig gyököt vonunk, így kapjuk, hogy

\begin{matrix} f_{a} f_{b} f_{c} = \frac{2 s \cdot a b c \cdot 4 \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)}}{(a + b) (b + c) (a + c)} . \end{matrix}

Itt

2 s = a + b + c

, Héron képlete szerint pedig

4 \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} = 4 T

, ezeket helyettesítve valóban az (1) összefüggést kapjuk.

Metzing András (Pécs, Leöwey Klára Gimn., 11. évf.)