Kezdőlap


Feladat:	C.651	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kirják Erzsébet
Füzet:	2002/május, 277 - 278. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör geometriája, Hossz, kerület, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/december: C.651

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B$ átmérőjű kör sugarát $r$ -rel. Tudjuk, hogy a kör területe egységnyi, azaz $1 = r^{2} π$ , innen $r = \sqrt[]{\frac{1}{π}}$ . A berajzolt félköröket jelöljük $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ , $k_{4}$ -gyel az 1. ábra szerint.
A $k_{4}$ kör átmérője legyen $d_{4} = 2 x$ , a $k_{2}$ kör átmérője $d_{2} = 2 y$ , ekkor $k_{3}$ átmérője $d_{3} = 2 x + \frac{2 r}{5}$ , és $d_{1} = 2 y + \frac{2 r}{5}$ a $k_{1}$ átmérője.
Először a tartomány kerületét, $k$ -t számítjuk ki, ez a határoló félkörök kerületének összege:

\begin{matrix} k = x π + y π + (x + \frac{r}{5}) π + (y + \frac{r}{5}) π = π (2 x + 2 y + \frac{2 r}{5}) . \end{matrix}

(1)

1. ábra

Mivel

2 x + 2 y + \frac{2 r}{5}

éppen a kör

A B

átmérője, a satírozott tartomány kerülete egyenlő a kör kerületével:

\begin{matrix} k = 2 π r = 2 π \frac{\sqrt[]{π}}{π} = 2 \sqrt[]{π} . \end{matrix}

A satírozott rész

T

területe egyenlő a

k_{1}

és

k_{2}

, valamint a

k_{3}

és

k_{4}

félkörök terület-különbségének az összegével:

\begin{matrix} \begin{matrix} T & = \frac{π}{2} [{(x + \frac{r}{5})}^{2} - x^{2}] + \frac{π}{2} [{(y + \frac{r}{5})}^{2} - y^{2}] = \\ = \frac{π}{2} [(2 x + \frac{r}{5}) \frac{r}{5} + (2 y + \frac{r}{5}) \frac{r}{5}] = \frac{π}{2} \frac{r}{5} (2 x + 2 y + \frac{2 r}{5}) \end{matrix} \end{matrix}

Előbb már láttuk, hogy a zárójelben álló összeg éppen

2 r

, így

\begin{matrix} T = \frac{π}{2} \cdot \frac{r}{5} \cdot 2 r = \frac{1}{5} \end{matrix}

területegység.

Kirják Erzsébet (Jászberény, Liska József Erősáramú Szki. és Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Az alakzat területe független attól, hogy hol vettük fel az átmérő

\frac{1}{5}

egységnyi részét; a kerülete pedig mindig a teljes kör kerületével egyenlő, bármekkora részét is vesszük az átmérőnek.