Kezdőlap


Feladat:	B.3506	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kőrizs András
Füzet:	2002/április, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/december: B.3506

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $f$ polinom nem konstans, hiszen ekkor

\begin{matrix} f (x^{2} + 1) - f (x^{2} - 1) = c - c = 0. \end{matrix}

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}

, akkor

\begin{matrix} f (x^{2} + 1) = a_{n} {(x^{2} + 1)}^{n} + a_{n - 1} {(x^{2} + 1)}^{n - 1} + ... + a_{1} (x^{2} + 1) + a_{0} \end{matrix}

és

\begin{matrix} f (x^{2} - 1) = a_{n} {(x^{2} - 1)}^{n} + a_{n - 1} {(x^{2} - 1)}^{n - 1} + ... + a_{1} (x^{2} - 1) + a_{0} . \end{matrix}

Tekintsük a két polinom különbségének általános tagját:

\begin{matrix} d_{k} (x) = a_{k} [{(x^{2} + 1)}^{k} - {(x^{2} - 1)}^{k}] . \end{matrix}

Felhasználva az

u^{k} - v^{k} = (u - v) (u^{k - 1} + u^{k - 2} v + ... + v^{k - 1})

azonosságot, kapjuk, hogy

d_{k} (x) = 2 a_{k} [{(x^{2} + 1)}^{k - 1} + {(x^{2} + 1)}^{k - 2} (x^{2} - 1) + ... + {(x^{2} - 1)}^{k}] .

A zárójelben

(2 k - 2)

-edfokú polinomok összege áll, mindegyikük főegyütthatója 1, így

d_{k} (x)

vagy zéruspolinom ‐ ha

a_{k} = 0

‐ vagy pedig pontosan

(2 k - 2)

-edfokú.
Az

f (x^{2} + 1) - f (x^{2} - 1)

különbség zérustól különböző tagjai fokszámai között tehát nincsenek egyenlők, a fokszáma így a legmagasabb fokú tag fokszáma,

2 n - 2

.
A feltétel szerint másodfokú

f (x^{2} + 1) - f (x^{2} - 1)

polinom tehát pontosan

(2 n - 2)

-edfokú és így

n = 2

. Ekkor

f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

, az

f (x^{2} + 1) - f (x^{2} - 1)

különbség pedig

\begin{matrix} a_{2} {(x^{2} + 1)}^{2} + a_{1} (x^{2} + 1) + a_{0} - a_{2} (x^{2} + 1) - a_{1} (x^{2} + 1) - a_{0} = 4 a_{2} x^{2} + 2 a_{1} . \end{matrix}

A feltétel szerint ez a különbség

4 x^{2} + 6

. Két polinom pontosan akkor egyenlő, ha az azonos fokszámú tagok együtthatói egyenlők, ahonnan

a_{2} = 1

és

a_{1} = 3

. Az

f (x)

polinom tehát

x^{2} + 3 x + a_{0}

alakú, ahol

a_{0}

tetszőleges valós szám lehet. Így

\begin{matrix} f (x^{2} + 1) - f (x^{2}) = {(x^{2} + 1)}^{2} + 3 (x^{2} + 1) + a_{0} - [{(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + a_{0}] = 2 x^{2} + 4. \end{matrix}

Kőrizs András (Budapest, Veres Péter Gimn., 12. évf.)