Kezdőlap


Feladat:	B.3496	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Puskás Anna
Füzet:	2002/április, 225 - 226. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pont körüli forgatás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/november: B.3496

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Forgassuk el a $B P C$ háromszöget $B$ körül $90^{\circ}$ -kal úgy, hogy $C$ képe $A$ legyen. Jelölje $P'$ a $P$ elforgatottját (1. ábra). Ekkor a $P' B P$ háromszög egyenlő szárú és $B$ -nél lévő szöge derékszög. Ezért $P' P B ∢ = 45^{\circ}$ , valamint Pitagorasz tétele szerint $P' P^{2} = P' B^{2} + P B^{2} = 2 \cdot P B^{2}$ . Válasszuk az $A P$ szakasz hosszát egységnek. Ekkor a feltétel szerint $P B = 2$ és $P C = P' A = 3$ . Vagyis $P' A^{2} = 9 = 8 + 1 = P' P^{2} + P A^{2}$ , tehát a Pitagorasz tétel gfordításából következően a $P' P A ∢$ derékszög.

1. ábra

Tehát

\begin{matrix} A P B ∢ = A P P' ∢ + P' P B ∢ = 90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ} . \end{matrix}

Puskás Anna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

A fenti megoldás rövid és elegáns, azonban nehéz rájönni. A következő megoldás nem ilyen szép, viszont könnyen megtalálható.

2. ábra

II. megoldás. Most is az

A P

szakasz hosszát válasszuk egységnek. Az

A B C D

négyzet oldalának hossza legyen

a

. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy

A (0,0)

B (0, a)

és

C (a, a)

legyen (2. ábra). Ha

P

koordinátái

x

és

y

, akkor a távolságképlet szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} (1) & P A^{2} & = 1 = x^{2} + y^{2}, \\ (2) & P B^{2} & = 4 = x^{2} + {(y - a)}^{2}, \\ (3) & P C^{2} & = 9 = {(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Kivonva (2)-ből (1)-et, illetve (3)-ból (2)-t, kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 & = a^{2} - 2 a y, \\ 5 & = a^{2} - 2 a x . \end{matrix} \end{matrix}

Ezekből

y = \frac{a^{2} - 3}{2 a}

és

x = \frac{a^{2} - 5}{2 a}

adódik, amit (1)-be visszaírva:

\begin{matrix} 1 = \frac{a^{4} - 10 a^{2} + 25}{4 a^{2}} + \frac{a^{4} - 6 a^{2} + 9}{4 a^{2}} . \end{matrix}

Ezt rendezve az

a^{2}

-re nézve másodfokú

a^{4} - 10 a^{2} + 17 = 0

egyenletet kapjuk, amiből

a^{2} = 5 \pm \sqrt[]{8}

. Mivel

P

A B C D

négyzet belső pontja, ezért

x > 0

, azaz

a^{2} > 5

. Tehát csak az

a^{2} > 5

megoldással kell foglalkoznunk.
Írjuk fel a koszinusztételt az

A P B

háromszög

A B

oldalára. Ha a keresett szög

A P B ∢ = φ

, akkor

A B^{2} = A P^{2} + B P^{2} - 2 \cdot A P \cdot B P \cdot cos φ,

azaz

\begin{matrix} 5 + \sqrt[]{8} = 1^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot cos φ . \end{matrix}

Ebből kapjuk, hogy

cos φ = - \frac{\sqrt[]{2}}{2}

, tehát

φ = 135^{\circ}