Feladat:	B.3492	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/április, 223 - 224. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Mátrixok, Egész számok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/november: B.3492

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A számtáblázat $a$-adik sorának $b$-edik eleme $\left(a-1\right)\cdot n+b$-vel egyenlő ($1\le a\le n$, $1\le b\le n$). Ha minden sorból kiválasztunk egy számot, akkor összesen $n$ darabot veszünk ki, és mivel ezek közül semelyik kettő nem lehet ugyanabban az oszlopban, így minden sorból és oszlopból pontosan egy elemet választottunk. Ha az $i$-edik sorban a $b_i$-edik elemet választjuk ki, akkor a kiválasztott elemek összege $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 0\cdot n+b_1+1\cdot n+b_2+2\cdot n+b_3+\text{...}+\left(n-1\right)\cdot n+b_n=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(*\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\left(n-1\right)\cdot n}{2}\cdot n+b_1+b_2+\text{...}+b_n\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Tudjuk, hogy $1\le b_i\le n$, és minden érték szerepel, ezért az összegük $\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}$. Eszerint $\left(*\right)$ értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\left(n-1\right)\cdot n}{2}\cdot n+\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}=\frac{n^2\left(n-1\right)+n\cdot \left(n+1\right)}{2}=\frac{n^3+n}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ és ez az összeg független a megválasztott számoktól.   Megjegyzés. Az $x$-edik sor $y$-adik elemére az $a_{xy}$ jelölést használva belátható, hogy $a_{ij}+a_{kl}=a_{il}+a_{kj}$, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a_{ij}+a_{kl}}& {\displaystyle =\left(i-1\right)\cdot n+j+\left(k-1\right)\cdot n+l\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle a_{il}+a_{kj}}& {\displaystyle =\left(i-1\right)\cdot n+l+\left(k-1\right)\cdot n+j\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Eszerint a kiválasztott $a_{1j_1}$ és $a_{k_{1}n}$ elemek helyett az $a_{1n}$ és $a_{k_1{j}_1}$ elemeket összeadva ugyanazt az eredményt kapjuk, tehát kicserélhetjük a kiválasztottakat ezekre. Továbbra is ugyanazok az oszlopok és sorok fognak szerepelni, így a többi elemet a csere nem befolyásolja. Második lépésként az $a_{2j_2}$ és $a_{k_2\left(n-1\right)}$ helyett az $a_{2\left(n-1\right)}$ és $a_{k_{2}2}$ számokat választjuk. Ezt az eljárást folytatjuk. Látható, hogy a csere a már kiválasztott $a_{1n}$, $a_{2\left(n-1\right)}$ stb. elemeket nem változtatja meg. Így az eljárás végén az $a_{1n}$, $a_{2\left(n-1\right)}$, $a_{3\left(n-2\right)}$, $\text{...}$, $a_{\left(n-1\right)2}$, $a_{n1}$ számok fognak szerepelni. Ezek pedig egy számtani sorozatot alkotnak, amelynek az első eleme $n^2-n+1$, az elemek száma $n$, az $n$-edik elem $n$ (a sorozat differenciája $-n+1$). Így az összeg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{n^2-n+1+n}{2}\cdot n=\frac{n^3+n}{2}\mathrm{.}}\end{array}$