Kezdőlap


Feladat:	B.3485	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh János , Hablicsek Márton , Nagy Gábor
Füzet:	2002/április, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számhalmazok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: B.3485

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel $x - y \geq \frac{x y}{25}$ és $y > 0$ , azért $x > \frac{x y}{25}$ , amiből $25 > y$ . Ezért $A$ -nak csak egy eleme lehet 24-nél nagyobb.
Ha $x > y$ két eleme az $A$ halmaznak, akkor

\begin{matrix} x - y \geq \frac{x y}{25} szerint y \leq \frac{25 \cdot x}{25 + x}, amiből y \leq 25 - \frac{625}{25 + x} . \end{matrix}

Tehát

x

meghatározza

y

legnagyobb értékét, mégpedig úgy, hogy nagyobb

x

esetén

y

megengedett legnagyobb értéke is nagyobb.
Az

A

halmazba ezért úgy tudjuk a legtöbb elemet tenni, ha a választható legnagyobbakat tesszük be. Érdemes tehát a második legnagyobb elemet 24-nek választani. Ez meghatározza a következő legnagyobb halmazbeli elemet, ugyanis ekkor az

y \leq \frac{25 \cdot 24}{25 + 24}

egyenlőtlenség miatt a következő legnagyobb beválasztható elem a 12, és így tovább, a további elemekre 8, 6, 4, 3, 2, 1 adódik. A legnagyobb elemre a

24 \leq \frac{25 \cdot x}{25 + x}

egyenlőtlenségből kapunk alsó korlátot, amiből a legnagyobb szám minimális értékére 600 adódik. Ezért legfeljebb 9 eleme lehet az

A

halmaznak. Egy lehetséges

A

halmaz elemei pedig az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 600. Természetesen más 9 elemű halmaz is található, például az 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 17, 54.

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.)
Nagy Gábor (Kaposvár, Táncsics Mihály Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

II. megoldás. Ha

x

egy

A

halmazbeli elem, és a nála kisebbek közül a legnagyobb

y

, akkor ezekre fennáll, hogy

x - y \geq \frac{x y}{25}

. Ez a feltétel teljesül az

y

-nál kisebb többi halmazbeli elemre is, hiszen

y

csökkentésével az egyenlőtlenség bal oldala nő, a jobb oldal viszont csökken.
Keressük meg az adott

y

-hoz tartozó minimális

x

értékeket. Az

(y, x)

párok a következők:

(1,2)

(2,3)

(3,4)

(4,5)

(5,7)

(7,10)

(10,17)

(17,54)

. Egy megfelelő

A

halmaz az 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 17, 54 elemeket tartalmazó halmaz, de ezen kívül megadható más ilyen halmaz is, mint azt az előző megoldásban láttuk.
Bebizonyítjuk, hogy 9-nél több eleme nem lehet az

A

halmaznak.
Az 5 és 6 egyszerre nem lehetnek elemei a halmaznak, ugyanis

6 - 5 < \frac{6 \cdot 5}{25}

.
A 7, 8, 9 elemek közül szintén csak egy lehet az

A

halmazban, hiszen e számokra

x - y

értéke legfeljebb 2, a jobb oldal minimuma pedig

\frac{7 \cdot 8}{25}

, ami nagyobb, mint 2.
A

[10,14]

intervallumból is csak egyetlen elem kerülhet az

A

halmazba, hiszen itt

x - y

értéke maximum 4, a jobb oldal minimuma pedig

\frac{10 \cdot 11}{25}

, ami nagyobb, mint 4. Hasonlóan a

[15,24]

intervallumból is csak egyetlen elem kerülhet az

A

halmazba, hiszen

x - y

értéke most maximum 9, a jobb oldal minimuma pedig

\frac{15 \cdot 16}{25}

, ami nagyobb, mint 9.
Az előző megoldáshoz hasonlóan igazolható, hogy nincs két olyan eleme

A

-nak, amelyek nagyobbak 24-nél. Ezért valóban legfeljebb kilenc eleme lehet az

A

halmaznak.

Balogh János (Kaposvár, Táncsics Mihály Gimnázium, 12. évf.)

Megjegyzés: Sokan félreértették a feladatot és a megoldás számpárok halmazának elemszámát keresték, ami természetesen végtelen. Ezekre a dolgozatokra nem adtunk pontot. Nem kaptak maximális pontot azok a megoldók, akik azt a hibát követték el, hogy azt a 9 elemet, amely kielégíti a feltételt, úgy tüntették fel, mintha kizárólag az lenne a helyes megoldás.