Kezdőlap


Feladat:	B.3482	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halbrucker Tamás
Füzet:	2002/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: B.3482

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás igazolásához megmutatjuk, hogy nincs háromnál több olyan egész szám, amelyet számjegyeinek összegével elosztva 13-at kapunk.
Nézzük meg először, hogy hány jegyűek lehetnek ezek a számok.
Ha egy ilyen szám négyjegyű, akkor értéke legalább 1000, számjegyeinek az összege legfeljebb $9 \cdot 4 = 36$ lehet. Ha a legalább 1000-et elosztjuk legfeljebb 36-tal, akkor 13-nál biztosan nagyobb számot kapunk $(\frac{1000}{36} \approx 27, 78)$ . Tehát a szám nem lehet négyjegyű, és értelemszerűen négynél több jegyű sem.
Kétjegyű sem lehet, hiszen a 13-nak mind a hét kétjegyű többszörösét megvizsgálva (13, 26, 39, 52, 65, 78, 91) egyik sem megfelelő. Nyilvánvaló, hogy a keresett szám egyjegyű sem lehet.
Így a szám csak háromjegyű lehet, legyen $\bar{a b c}$ , ahol $a \neq 0$ , $0 \leq b, c \leq 9$ .
A feladat feltétele:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{100 a + 10 b + c}{a + b + c} = 13, \\ 100 a + 10 b + c = 13 a + 13 b + 13 c, azaz 29 a = b + 4 c . \end{matrix} \end{matrix}

Az előbbiek értelmében a jobb oldal legfeljebb

9 + 4 \cdot 9 = 45

. Ezért

29 a \leq 45

, azonban

a

pozitív számjegy, így

a = 1

. Ekkor

\begin{matrix} 29 = b + 4 c . \end{matrix}

c

lehetséges tíz értékéhez a

b

értékét kiszámolva csak a következő három esetben kapunk megfelelő számot:

\begin{matrix} \begin{matrix} c = 5, & b = 9; \\ c = 6, & b = 5; \\ c = 7, & b = 1. \end{matrix} \end{matrix}

Három megfelelő

\bar{a b c}

szám van, ezek 117, 156 és 195. Biztos tehát, hogy négyük közül legalább kettőnek ugyanannyi könyve van.

Halbrucker Tamás (Szekszárd, Garay János Gimnázium 10. o.t.)