Kezdőlap


Feladat:	B.3473	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kiss-Tóth Christián , Tassy Gergely
Füzet:	2002/április, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/szeptember: B.3473

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje a négy kis paralelogramma területét $t_{a}$ , $t_{b}$ , $t_{c}$ , $t_{d}$ , a nagy paralelogramma területét $T$ .

Tudjuk, hogy a paralelogramma átlója felezi a területét.
Ekkor a háromszögek területeit a ,,leeső'' részek figyelembevételével felírhatjuk így:

\begin{matrix} \begin{matrix} T_{A Q R} = T - (\frac{t_{c}}{2} + \frac{t_{a} + t_{b}}{2} + \frac{t_{a} + t_{d}}{2}); & T_{B R S} = T - (\frac{t_{d}}{2} + \frac{t_{a} + t_{b}}{2} + \frac{t_{b} + t_{c}}{2}); \\ T_{C S P} = T - (\frac{t_{a}}{2} + \frac{t_{c} + t_{d}}{2} + \frac{t_{b} + t_{c}}{2}); & T_{D P Q} = T - (\frac{t_{b}}{2} + \frac{t_{a} + t_{d}}{2} + \frac{t_{c} + t_{d}}{2}) . \end{matrix} \end{matrix}

A négy háromszög területének összege:

\begin{matrix} T_{össz} = 4 T - \frac{5 (t_{a} + t_{b} + t_{c} + t_{d})}{2} . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

T = t_{a} + t_{b} + t_{c} + t_{d}

. Ennek alapján

T_{össz} = 4 T - \frac{5 T}{2} = \frac{3}{2} T = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3

.
Tehát a négy háromszög területének összege 3 egység.

Tassy Gergely (Budapest, Veres Péter Gimnázium, 9. o.t.)

II. megoldás. Készítsünk ábrát a példának megfelelően.

Legyen a keresett területösszeg

t

. A paralelogramma magasságát jelöljük

m

-mel, annak két részét az ábra szerint

m_{1}

-gyel és

m_{2}

-vel. Írjuk fel az egyes háromszögek területét:

\begin{matrix} \begin{matrix} T_{A Q R} & = 2 - \frac{D R \cdot m + A B \cdot m_{1} + R C \cdot m_{2}}{2}, \\ T_{B R S} & = 2 - \frac{R C \cdot m + A B \cdot m_{1} + D R \cdot m_{2}}{2}, \\ T_{D P Q} & = 2 - \frac{A P \cdot m + P B \cdot m_{1} + D C \cdot m_{2}}{2}, \\ T_{C S P} & = 2 - \frac{P B \cdot m + A P \cdot m_{1} + D C \cdot m_{2}}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

A területeket összeadva:

\begin{matrix} \begin{matrix} t & = 8 - \frac{D R \cdot m + A B \cdot m_{1} + R C \cdot m_{2}}{2} - \frac{R C \cdot m + A B \cdot m_{1} + D R \cdot m_{2}}{2} - \\ - \frac{A P \cdot m + P B \cdot m_{1} + D C \cdot m_{2}}{2} - \frac{P B \cdot m + A P \cdot m_{1} + D C \cdot m_{2}}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezt tovább alakítva:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 t & = 16 - m \cdot (D R + R C + A P + P B) - \\ - m_{1} \cdot (A B + A B + P B + A P) - m_{2} \cdot (R C + D R + D C + D C), \\ 2 t & = 16 - 2 m \cdot A B - 3 m_{1} \cdot A B - 3 m_{2} \cdot A B = 16 - A B (2 m + 3 (m_{1} + m_{2})) . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

A B (2 m + 3 (m_{1} + m_{2})) = A B \cdot 5 m = 10

, ezért

2 t = 6

, és így az

A Q R

B R S

D Q R

és

C S P

háromszögek területének az összege 3 egység.

Kiss-Tóth Christian (Budapest, Árpád Gimnázium, 9. o.t.)