Kezdőlap


Feladat:	B.3453	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Puskás Anna
Füzet:	2002/április, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszög területe, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/április: B.3453

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A S$ egyenes és a $B C$ szakasz metszéspontja $F$ . Mivel $S$ az $A B C$ háromszög súlypontja, azért $F$ a $B C$ szakasz felezőpontja. Mivel $P H$ párhuzamos $B F$ -fel, az $A P H$ és az $A B F$ háromszögek hasonlóak. A hasonlóság aránya $1 : 3$ , mert $H$ felezi az $A S$ szakaszt, $S$ pedig harmadolja az $A F$ -et, tehát

\begin{matrix} A H = \frac{1}{2} A S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} A F . \end{matrix}

Ezért

P H = \frac{1}{3} B F

. Az

R H S

és a

C F S

háromszögek egybevágóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak és

H S = S F = \frac{1}{3} A F

. Ezért

\begin{matrix} R H = C F = \frac{1}{2} B C = 3 \cdot P H, \end{matrix}

tehát

P

R

csúcstól távolabb harmadolja az

A R S

háromszög

R H

súlyvonalát, ezért

P

A R S

háromszög súlypontja.
Eszerint az

A Q

és

R H

szakaszok súlyvonalak az

A R S

háromszögben, vagyis a

P Q R

és

A P H

háromszögek területe egyenlő.

Puskás Anna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján