Feladat:	C.649	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/április, 207 - 209. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Csonkagúlák, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/november: C.649

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Egy csonkagúlát, amelynek alaplapja $A$, fedőlapja $B$ területű ($B<A$) egészítsünk ki gúlává. A ,,hozzátett'' és a hozzátevéssel kapott gúlák középpontosan hasonlóak. Ha a csonkagúla magassága $m$, a teljes gúláé pedig $m+x$, akkor a megfelelő gúlák hasonlóságából $\left(m+x\right):x=\sqrt[]{A}:\sqrt[]{B}$, ahonnan $x=m\frac{\sqrt[]{B}}{\sqrt[]{A}-\sqrt[]{B}}$. Ezért a teljes gúla térfogata $V=\frac{m+x}{3}A=\frac{m}{3}\frac{A\sqrt[]{A}}{\sqrt[]{A}-\sqrt[]{B}}$, a csonkagúláé pedig $V\left(1-{\left(\frac{x}{m+x}\right)}^3\right)=V\left(1-\frac{B\sqrt[]{B}}{A\sqrt[]{A}}\right)$. A csonkagúla kettévágásakor keletkezett ,,alsó'' csonkagúla alaplapja ugyancsak $A$, fedőlapjának (ismeretlen) területét jelöljük $C$-vel. Mivel ugyanarra a $V$ térfogatú gúlára egészíthető ki, mint az eredeti csonkagúla, a térfogata az imént levezetett képlet szerint $V\left(1-\frac{C\sqrt[]{C}}{A\sqrt[]{A}}\right)$. A feladat feltétele tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\frac{C\sqrt[]{C}}{A\sqrt[]{A}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{B\sqrt[]{B}}{A\sqrt[]{A}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2A\sqrt[]{A}-2C\sqrt[]{C}}& {\displaystyle =A\sqrt[]{A}-B\sqrt[]{B}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \frac{A\sqrt[]{A}+B\sqrt[]{B}}{2}}& {\displaystyle ={\left(\sqrt[]{C}\right)}^3\mathrm{,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ ennek megoldása pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle C={\left(\frac{A\sqrt[]{A}+B\sqrt[]{B}}{2}\right)}^{2/3}={\left(\frac{16\sqrt[]{2}+1}{2}\right)}^{2/3}\approx 5.19\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>. }}\end{array}$   II. megoldás. Jelölje a csonkagúla térfogatát $V$, a részek térfogatát $V_1$ és $V_2$, a hozzájuk tartozó magasságokat $m_1$ és $m_2$, a síkmetszet területét $x$. A teljes gúla térfogata $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{\left(m_1+m_2\right)}{3}\left(8+\sqrt[]{8}+1\right);V_1=\frac{m_1}{3}\left(8+\sqrt[]{8x}+x\right);V_2=\frac{m_2}{3}\left(x+\sqrt[]{x}+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A térfogatok egyenlőségéből, valamint abból, hogy a $V_1+V_2=V$, a térfogatok háromszorosára felírhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \left(1\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle m_1\left(8+x+\sqrt[]{8x}\right)}& {\displaystyle =m_2\left(x+\sqrt[]{x}+1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \left(2\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle m_1\left(8+x+\sqrt[]{8x}\right)+m_2\left(x+1+\sqrt[]{x}\right)}& {\displaystyle =\left(m_1+m_2\right)\left(9+\sqrt[]{8}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (1)-ből fejezzük ki $m_1$-et: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_1=\frac{m_2\left(x+1+\sqrt[]{x}\right)}{8+x+\sqrt[]{8x}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt helyettesítve (2)-be: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_2\left(x+1+\sqrt[]{x}\right)+m_2\left(x+1+\sqrt[]{x}\right)=\left[\frac{m_2\left(x+1+\sqrt[]{x}\right)}{8+x+\sqrt[]{8x}}+m_2\right]\left(9+\sqrt[]{8}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Végezzük el a kijelölt műveleteket és egyszerűsítsünk $m_2\ne 0$-val, valamint vezessük be a $\sqrt[]{x}=a$ új ismeretlent. Ekkor a következő negyedfokú egyenlethez jutunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2a^4+\left(2+4\sqrt[]{2}\right)a^3-\left(1+16\sqrt[]{2}\right)a-\left(65+18\sqrt[]{2}\right)=0.}\end{array}$ Az első 2 tagból kiemelhetjük a $2a^3$-t, kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 2a^3\left(a+1+2\sqrt[]{2}\right)-\left(1+16\sqrt[]{2}\right)a-\left(65+18\sqrt[]{2}\right)=0.}\end{array}$ Nézzük meg, hogy $\left(a+1+2\sqrt[]{2}\right)$ osztója-e az egyenletben szereplő másik két tag összegének, azaz létezik-e olyan $c$ szám, amelyre a $\begin{array}{c}{\displaystyle c\left(a+1+2\sqrt[]{2}\right)=\left(16\sqrt[]{2}+1\right)a+65+18\sqrt[]{2}}\end{array}$ egyenlőség teljesül. Az együtthatók egyenlőségéből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle ca=\left(16\sqrt[]{2}+1\right)a\mathrm{.}}\end{array}$ Ez $c=16\sqrt[]{2}+1$ választással teljesül, és valóban $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(16\sqrt[]{2}+1\right)\left(2\sqrt[]{2}+1\right)=64+16\sqrt[]{2}+2\sqrt[]{2}+1=65+18\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Így a polinom szorzattá alakítható: $\left(2a^3-1-16\sqrt[]{2}\right)\left(a+1+2\sqrt[]{2}\right)$. A második tényező egyetlen gyöke negatív, ami nem lehetséges $\left(a=\sqrt[]{x}\right)$. Az első tényező egyetlen valós gyöke $a=\sqrt[3]{\frac{1+16\sqrt[]{2}}{2}}\approx 2\mathrm{,}27752$, azaz a síkmetszet területe $x=a^2\approx 5\mathrm{,}187\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$.   Megjegyzés. A feladat valójában ‐ ahogy az a megoldásokból is kiderül ‐ nem feltétlenül csonkagúlákról, hanem általában ,,csonkagúlaszerű'' testekről szólt; csak az számított a végeredmény szempontjából, hogy az alap- és a fedőlapnak mekkora a területe, alakjuk viszont közömbös. Ezért nem tekintettük hibásnak azokat a megoldásokat sem, amelyek csonkagúla helyett csonkakúppal számoltak.