Kezdőlap


Feladat:	C.624	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katona András
Füzet:	2002/április, 205 - 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/március: C.624

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Állítsuk a dobozt az egyik $200 \times 164$ cm-es lapjára, és rakjuk bele a pingponglabdákat ‐ amiket ezentúl gömböknek fogunk tekinteni ‐ úgy, hogy egymást és a doboz alját is érintsék. (1. ábra, felülnézet). Így egy sorba $200 : 4 = 50$ gömböt tudunk lerakni és $164 : 4 = 41$ sor van egy rétegben; vagyis összesen $50 \times 41 = 2050$ helyezhető el. Ha így folytatnánk a ,,dobozolást'', akkor ‐ mivel $146 : 4 = 36, 5$ ‐ legfeljebb $2050 \times 36 = 73 800 < 100 000$ labda férne el a dobozban.

1. ábra

Keressünk ennél gazdaságosabb elhelyezést. A második réteg gömbjeit helyezzük el úgy, hogy mindegyik az alatta levő 4 gömb mélyedésébe kerüljön. Egy ilyen rétegbe

49 \times 40 = 1960

gömb helyezhető el.

2. ábra

Számoljuk ki, összesen hány réteg lesz a 146 cm magas ládában.
Az alsó négy gömb középpontja egy

O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}

négyzetet, az 5. felső gömb

O_{5}

középpontjával együtt pedig egy négyzetes gúlát alkot (2. ábra). A gúla csúcsának az alaptól való távolságát meghatározhatjuk Pitagorasz tételével:

\begin{matrix} O O_{5} = \sqrt[]{4^{2} - {(2 \sqrt[]{2})}^{2}} = 2 \sqrt[]{2} = d . \end{matrix}

Ennyivel emelkedik ki a 2. réteg gömbjeinek középpontja az alatta lévő gömbök középpontjai által meghatározott sík fölé.
Két páros (vagy páratlan) réteg távolsága ‐ vagyis amelyeket az ugyanolyan módon elhelyezett gömbök középpontjai határoznak meg ‐

2 d = 4 \sqrt[]{2}

. A legalsó és legfelső rétegben elhelyezett gömbök középpontjai a doboz aljától, illetve tetejétől 2-2 cm távolságra vannak. Ezt vonjuk le 146-ból, a megmaradó térrészben

[\frac{142}{4 \sqrt[]{2}}] = 25

páros, ill. páratlan réteg van. Így az összesen elhelyezhető gömbök száma:

25 (2050 + 1960) + 2050 = 102 300

. Vagyis a

100 000

pingponglabda elfér a dobozban.

Katona András (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 9. évf.)

Megjegyzés. A megoldáshoz illusztráció az első belső borítón látható.