Kezdőlap


Feladat:	C.622	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sevecsek Zsuzsanna
Füzet:	2002/április, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/március: C.622

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 7 osztója az $\bar{A B C C B A} = 100001 A + 10010 B + 1100 C$ számnak és a $100 A + 10 B + C$ számnak is, ahol $A$ , $B$ , $C$ különböző számjegyek, $A \neq 0$ .
Mivel

\begin{matrix} \bar{A B C C B A} = 1000 \bar{A B C} + (A + 10 B + 100 C), \end{matrix}

ezért a

\bar{C B A} = 100 C + 10 B + A

is osztható kell, hogy legyen 7-tel. Ekkor a 7 osztója az

\bar{A B C} - \bar{C B A} = 99 A - 99 C = 99 (A - C)

-nek is. A 99-nek a 7 nem osztója, ezért, mivel prímszám, az

(A - C)

-nek kell, hogy az osztója legyen.
Ez a következő lehetőségeket jelenti:

a)	$A = 1$ , $C = 8$ . A $7 ∣ \bar{1 B 8}$ és $7 ∣ \bar{8 B 1}$ feltételt csak a $B = 6$ teljesíti, a keresett szám: $168 861$ .

b)	$A = 2$ , $C = 9$ . A $7 ∣ \bar{2 B 9}$ és $7 ∣ \bar{9 B 2}$ feltételt csak a $B = 5$ teljesíti, a keresett szám: $259 952$ .

c)	$A = 8$ , $C = 1$ . A $7 ∣ \bar{8 B 1}$ és $7 ∣ \bar{1 B 8}$ feltételt csak a $B = 6$ teljesíti, a keresett szám: $861 168$ .

d)	$A = 9$ , $C = 2$ . A $7 ∣ \bar{9 B 2}$ és $7 ∣ \bar{2 B 9}$ feltételt csak a $B = 5$ teljesíti, a keresett szám: $952 259$ .

e)	$A = 7$ , $C = 0$ . A $7 ∣ \bar{7 B 0}$ , de $B \neq 0$ , $B \neq 7$ , mert $A$ , $B$ , $C$ különbözőek. Itt nincs megoldás.

A feladat feltételeinek a fenti négy hatjegyű szám felel meg.

Sevecsek Zsuzsanna (Tatabánya, Árpád Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján