Kezdőlap


Feladat:	B.3491	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nyeste Szabolcs
Füzet:	2002/március, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikus geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: B.3491

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás nem igaz. Sok ellenpélda konstruálható, ezek közül kettőt írunk le. A második azt is mutatja, hogy nagyságrendileg legalább $n^{2}$ kék pontra van szükségünk ahhoz, hogy a térben $n$ piros pont által meghatározott minden tetraéder belsejében legyen közülük legalább egy.

I. ellenpélda. Legyenek a piros pontok a következők: egy

A B C D

négyzet négy csúcsa, valamint a négyzet középpontjából induló, a négyzet síkjára merőleges

f

félegyenes kezdőpontjától különböző

P_{1}, P_{2}, ..., P_{n - 4}

pontjai (a számozást válasszuk úgy, hogy minél nagyobb egy pont indexe, annál távolabb van a négyzet síkjától, lásd az 1. ábrát). Ekkor az

A B P_{i} P_{i + 1}

B C P_{i} P_{i + 1}

C D P_{i} P_{i + 1}

D A P_{i} P_{i + 1}

(

i = 1,2, ..., n - 5

) olyan tetraéderek, melyeknek nincs közös belső pontjuk. E tetraéderek száma

4 (n - 5)

, azaz legalább

4 n - 20

kék pont kell ahhoz, hogy a piros pontok által meghatározott minden tetraéder belsejében legyen közülük legalább egy. Ez a szám viszont nagyobb, mint

3 n

, ha

n > 20

Nyeste Szabolcs (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

\begin{matrix} \begin{matrix} 1. ábra \end{matrix}\begin{matrix} 2. ábra \end{matrix} \end{matrix}

II. ellenpélda. Legyen

n = 2 k

. A piros pontok legyenek az

e

és

f

kitérő egyenesek

E_{1}, E_{2}, ..., E_{k}

és

F_{1}, F_{2}, ..., F_{k}

pontjai, ahol a pontok az indexeiknek megfelelő sorrendben helyezkednek el az egyeneseken (lásd a 2. ábrát). Ekkor

1 \leq i, j \leq k - 1

esetén az

E_{i} E_{i + 1} F_{j} F_{j + 1}

tetraéderek közül semelyik kettőnek nincs közös pontja. Legyen ugyanis

E_{i} E_{i + 1} F_{j} F_{j + 1}

és

E_{i'} E_{i' + 1} F_{j'} F_{j' + 1}

két különböző ilyen típusú tetraéder. Feltehetjük, hogy

i < i'

. Ekkor az

E_{i + 1}

pont és az

f

egyenes által meghatározott

S

síknak a két tetraéder

E_{i}

illetve

E_{i' + 1}

csúcsai különböző oldalára esnek,

E_{i + 1}

F_{j}

F_{j + 1}

F_{j'}

F_{j' + 1}

S

-en vannak,

E_{i'}

pedig vagy

S

-en van, vagy ugyanarra az oldalára esik

S

-nek, mint

E_{i' + 1}

. Tehát

S

elválasztja egymástól a két tetraéder belső pontjait. Az ilyen típusú tetraéderek száma

{(k - 1)}^{2} = {(\frac{n}{2} - 1)}^{2}

, ami

n \geq 16

esetén nagyobb, mint

3 n