Kezdőlap


Feladat:	B.3487	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Orbán Zsolt
Füzet:	2002/március, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: B.3487

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az adott egyenletben $x$ helyébe a pozitív számok halmazán mindenütt értelmes $\frac{1}{x}$ -et helyettesítünk, akkor az

\begin{matrix} f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) = 3 \cdot \frac{1}{x} + 6 \end{matrix}

összefüggéshez jutunk. Az eredeti feltétellel együtt egy kétismeretlenes egyenletrendszert kaptunk az

f (x)

f (\frac{1}{x})

ismeretlenekre.

\begin{matrix} \begin{matrix} (1) & f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) & = 3 x + 6, \\ (2) & f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) & = \frac{3}{x} + 6. \end{matrix} \end{matrix}

Az első egyenletből vonjuk ki a második kétszeresét:

\begin{matrix} - 3 f (x) = 3 x - \frac{6}{x} - 6, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} f (x) = \frac{2}{x} - x + 2. \end{matrix}

Ekkor

f (\frac{1}{x}) = 2 x - \frac{1}{x} + 2

, és behelyettesítve látható, hogy a kapott függvényre teljesül a feltétel. Egyetlen olyan függvény létezik tehát, amelyre teljesül a feladat egyenlete.

Orbán Zsolt (Nagykanizsa, Batthyány Lajos Gimn., 8. évf.)