Kezdőlap


Feladat:	B.3459	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss-Tóth Christián
Füzet:	2002/március, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Körérintők, Érintőnégyszögek, Síkgeometriai bizonyítások, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Trapézok, Középvonal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/április: B.3459

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán az $A B C D$ paralelogramma átlóinak metszéspontja $O$ , az $O P$ , $O Q$ , $O R$ , $O S$ , $A A_{1}$ , $A A_{2}$ , $B B_{1}$ , $B B_{2}$ , $C C_{1}$ , $C C_{2}$ , $D D_{1}$ és $D D_{2}$ szakaszok merőlegesek a megfelelő közös érintőre.

Így az ábrán az

A A_{1} C_{1} C

A A_{2} C_{2} C

B B_{1} D_{1} D

és

B B_{2} D_{2} D

négyszögek trapézok, mert van párhuzamos oldalpárjuk. Mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, azért

O A = O C

O B = O D

. Így az

O P

O Q

O R

és

O S

szakaszok a megfelelő trapéz középvonalai. Fejezzük ki ezt a négy középvonalat:

\begin{matrix} \begin{matrix} O P & = \frac{A A_{2} + C C_{2}}{2} = \frac{a + c}{2}, & O Q & = \frac{B B_{2} + D D_{2}}{2} = \frac{b + d}{2}, \\ O R & = \frac{A A_{1} + C C_{1}}{2} = \frac{a + c}{2}, & O S & = \frac{B B_{1} + D D_{1}}{2} = \frac{b + d}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

a + c = b + d

, azért

O P = O Q = O R = O S

. Tehát az érintők által meghatározott négyszögbe kör írható, azaz a négyszög érintőnégyszög.

Kiss-Tóth Christian (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)