Kezdőlap


Feladat:	C.644	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/március, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: C.644

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván $sin α$ , $sin β$ , $sin γ$ nem lehet 0. Szorozzuk (1) mindkét oldalát $2 sin α sin β sin γ \neq 0$ -val; kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 sin α cos α + 2 sin β cos β + 2 sin γ cos γ = 4 sin α sin β sin γ . \end{matrix}

A kétszeres szögekre ismert azonosság felhasználásával írjuk az egyenletet a következő alakba:

\begin{matrix} sin 2 α + sin 2 β + 2 sin γ cos γ = 4 sin α sin β sin γ . \end{matrix}

(2)

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy

sin 2 α + sin 2 β = 2 sin (α + β) cos (α - β) .

Továbbá tudjuk, hogy

α + β + γ = 180^{\circ}

, és

cos (180^{\circ} - (α + β)) = - cos (α + β)

. Ezeket helyettesítve (2) bal oldalán

2 sin (α + β) cos (α - β) - 2 sin γ cos (α + β)

áll. Tovább alakítva ezt a különbséget:

\begin{matrix} 2 sin γ cos (α - β) - 2 sin γ cos (α + β) = 2 sin γ [cos (α - β) - cos (α + β)], \end{matrix}

ahol a szögletes zárójelben álló kifejezés

2 sin α sin β

-val egyenlő. Így azt kaptuk, hogy (2) bal oldala

4 sin α sin β sin γ

, és ez valóban megegyezik (2) jobb oldalával.