Kezdőlap


Feladat:	C.643	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/március, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Háromszög területe, Körülírt kör, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: C.643

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ háromszög oldalait és szögeit a szokásos módon jelölve felírhatjuk, hogy $T = \frac{a b sin γ}{2}$ , $R = \frac{c}{2 sin γ}$ és $k = a + b + c .$ Behelyettesítve az egyenlőtlenségbe, végezzük el az egyszerűsítéseket is:

\begin{matrix} 4 \frac{a b sin γ}{2} \cdot \frac{c}{2 sin γ} = a b c \leq {(\frac{a + b + c}{3})}^{3}, (sin γ \neq 0) . \end{matrix}

Ez az egyenlőtlenség pedig nyilván teljesül, hiszen

a

b

, és

c

pozitív és átalakítva

\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c},

éppen azt mondja ki, hogy a számtani közép mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a mértani közép. Egyenlőség esetünkben akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.