Kezdőlap


Feladat:	C.641	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/március, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Terület, felszín, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: C.641

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy az $A B C D$ téglalap megfelel a kívánalmaknak.
Legyen $A B = a$ , $A D = b$ , a hajtogatás után kapott rombusz oldala $x$ . Az $A D E$ háromszögben $x^{2} = b^{2} + {(a - x)}^{2}$ . Innen

\begin{matrix} x = \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a} . \end{matrix}

(1)

A rombuszt a középvonala mentén összehajtva és az egyszeresen fedett részeket levágva az

E C' D' F A' B'

szabályos hatszöget kaptuk.

\begin{matrix} \begin{matrix} 1. ábra \end{matrix}\begin{matrix} 2. ábra \end{matrix} \end{matrix}

Rajzoljuk meg az

A D E

derékszögű háromszöget.

A D = b

és

C' E B' ∢ = 120^{\circ}

miatt

D E A ∢ = 60^{\circ}

, továbbá

\frac{b}{x} = sin 60^{\circ}

, ahonnan

\begin{matrix} x = \frac{2 \sqrt[]{3}}{3} b . \end{matrix}

(2)

(1)-ből és (2)-ből

\begin{matrix} \frac{2 \sqrt[]{3}}{3} b = \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a} . \end{matrix}

Az egyenletet rendezve kapjuk, hogy

a = \sqrt[]{3} b

. Ennek a feltételnek kell teljesülnie a téglalap oldalaira, ha a hajtogatás után szabályos hatszöget kaptunk.
Könnyű belátni, hogy ha a téglalap oldalainak aránya ilyen, akkor a hatszög valóban szabályos lesz.