Kezdőlap


Feladat:	B.3479	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Barcza Zsófia , Horváth Aliz
Füzet:	2002/február, 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/szeptember: B.3479

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a feladatban megadott kétváltozós polinomot $f (t, s)$ . Ez mindkét változójában másodfokú; rendezzük az egyik változó, például a $t$ hatványai szerint:

\begin{matrix} f (t, s) = 6 t^{2} - (4 s + 8) t + 3 s^{2} + 6 s + 5. \end{matrix}

Alakítsuk ezt

t

szerint teljes négyzetté:

\begin{matrix} f (t, s) = 6 {(t - \frac{s + 2}{3})}^{2} + \frac{7}{3} s^{2} + \frac{10}{3} s + \frac{7}{3} . \end{matrix}

Innen kiolvasható, hogy az

s

rögzített értékére

f (t, s)

legkisebb értéke

\frac{7}{3} s^{2} + \frac{10}{3} s + \frac{7}{3}

, amit akkor vesz föl, ha

t = \frac{s + 2}{3}

. Ennek a minimumnak a legkisebb értéke szintén teljes négyzetté alakítással kapható meg:

\begin{matrix} \frac{7}{3} s^{2} + \frac{10}{3} s + \frac{7}{3} = \frac{7}{3} {(s + \frac{5}{7})}^{2} + \frac{8}{7} . \end{matrix}

A legkisebb minimum tehát

\frac{8}{7}

, amit akkor kapunk, ha

s = - \frac{5}{7}

. Ebben az esetben

t = \frac{s + 2}{3} = \frac{3}{7}

.
Az

f (s, t)

legkisebb értéke tehát

\frac{8}{7}

, amit a változók

t = \frac{3}{7}

s = - \frac{5}{7}

értekeire vesz föl.

Barcza Zsófia (Bonyhád, Petőfi Sándor Evangélikus Gimnázium, 9. évf.)

Megjegyzések. 1. Hasonlóan jutunk eredményre, ha előbb az

s

, majd a

t

szerint alakítunk teljes négyzetté. Ekkor az

\begin{matrix} f (s, t) = 3 {(s - \frac{2}{3} t + 1)}^{2} + \frac{14}{3} {(t - \frac{3}{7})}^{2} + \frac{8}{7} \end{matrix}

alakot kapjuk, ahonnan szintén látható, hogy a minimum értéke

\frac{8}{7}

, amit akkor vesz föl, ha

t - \frac{3}{7} = s - \frac{2}{3} t = 0

, azaz

t = \frac{3}{7}

és

s = - \frac{5}{7}

.
2. Az

f (s, t) = 6 {(t - \frac{s + 2}{3})}^{2} + \frac{7}{3} {(s + \frac{5}{7})}^{2} + \frac{8}{7}

alakból is látható, hogy az

(s, t)

koordinátarendszerben

f (s, t) = c

egy ellipszis egyenlete, ha

c > \frac{8}{7}

. Ha

c = \frac{8}{7}

, akkor az ellipszis egyetlen ponttá zsugorodik, ennek a koordinátái a minimumot szolgáltató értékek:

t = \frac{3}{7}

és

s = - \frac{5}{7}

. Eredményünkből az is adódik, hogy ha

c < \frac{8}{7}

, akkor nincs olyan pont, melynek

(s, t)

koordinátáira

f (s, t) = c

teljesülne.