Kezdőlap


Feladat:	B.3475	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szalai Attila
Füzet:	2002/február, 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/szeptember: B.3475

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $3 α + 2 β = = 180^{\circ} = α + β + γ$ , $γ = 2 α + β$ . Tehát $γ$ a háromszög legnagyobb szöge, ezért a vele szemközti $c$ a háromszög legnagyobb oldala. Jelöljük a háromszög csúcsait a szokásos módon $A$ , $B$ , $C$ -vel, legyen $D$ a $c = A B$ oldalnak az a belső pontja, amelyre $A D = b$ .

Ekkor

D B = A B - A D = c - b

. Az

A D C

háromszög egyenlő szárú, ezért

C D A ∢ = D C A ∢ = \frac{1}{2} (180^{\circ} - α)

, s így

C D B ∢ = 180^{\circ} - C D A ∢ = 90^{\circ} + \frac{α}{2}

. De

3 α + 2 β = 180^{\circ}

, ezért

\begin{matrix} \frac{α}{2} = \frac{1}{2} (180^{\circ} - (2 α + 2 β)) = 90^{\circ} - (180^{\circ} - γ) = γ - 90^{\circ}, \end{matrix}

vagyis

C D B ∢ = γ

. Tehát az

A B C

és a

C B D

háromszögek hasonlóak, mert két-két szögük megegyezik. Ekkor viszont megfelelő oldalaik aránya egyenlő, azaz

\begin{matrix} \frac{C B}{A B} = \frac{D B}{C B}, vagyis \frac{a}{c} = \frac{c - b}{a} . \end{matrix}

Ebből adódik a bizonyítandó

a^{2} = c^{2} - c b

állítás.

Szalai Attila (Szeged, Radnóti M. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján