Kezdőlap


Feladat:	B.3450	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hablicsek Márton
Füzet:	2002/február, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/március: B.3450

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetraéder egyik lapjával párhuzamos sík által lemetszett tetraéder és az eredeti tetraéder középpontosan hasonlóak, a hasonlóság centruma a két tetraéder közös csúcsa. A tetraéderek megfelelő oldalai úgy aránylanak egymáshoz, mint térfogataik arányának köbgyöke, azaz a lemetszett tetraéder élei az eredeti tetraéder megfelelő éleinek $\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \approx 0, 69$ -szorosai. Ezért a $T$ -ből levágott tetraéderek ,,egymásba érnek'', metszik egymást.

1. ábra 2. ábra

Mivel

T

súlypontja,

S

, a súlyvonalakat

3 : 1

arányban osztja, és

\frac{3}{4} > \sqrt[3]{\frac{1}{3}}

, azért

S

egyik levágott tetraéderben sincs benne. A levágások után megmaradó test teljes egészében

T

belsejében van, mert

\sqrt[3]{\frac{1}{3}} > \frac{2}{3}

miatt

T

lapjainak minden pontját eltávolítottuk (1. ábra). A megmaradó testet tehát 4 sík határolja, ezért az egy tetraéder. A levágott kis tetraéderek és

T

hasonlóságából következik, hogy a maradék tetraéder lapjai és

T

megfelelő lapjainak távolságát

S

mind a 4 lappár esetén

(\frac{3}{4} - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}) : \frac{1}{4}

arányban osztja (2. ábra).
Tehát az

S

középpontú,

λ = - (3 - 4 \sqrt[3]{\frac{1}{3}})

arányú középpontos hasonlóság

T

-t átviszi a maradék tetraéderbe. Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság aránya köbének abszolút értékével, ezért a maradék test térfogata

T

térfogatának

{(3 - 4 \sqrt[3]{\frac{1}{3}})}^{3} \approx 0, 0116

-ed része.

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. évf.) dolgozata nyomán