Kezdőlap


Feladat:	B.3412	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Geleji János
Füzet:	2002/február, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/december: B.3412

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $\frac{1}{q} < \sqrt[]{58} - \sqrt[]{56}$ , akkor az $\frac{1}{q}$ -nak van olyan $p$ egész számú többszöröse, amelyre

\begin{matrix} \sqrt[]{56} < p \cdot \frac{1}{q} < \sqrt[]{58} . \end{matrix}

\frac{1}{q} < \sqrt[]{58} - \sqrt[]{56}

pontosan akkor teljesül, ha

q > \frac{1}{\sqrt[]{58} - \sqrt[]{56}} = \frac{\sqrt[]{58} + \sqrt[]{56}}{2}

; mivel

7 < \sqrt[]{56} < \sqrt[]{58} < 8

, azért a pozitív egészek körében ez akkor és csak akkor igaz, ha

q \geq 8

.
Meg kell még vizsgálnunk a fennmaradó hét lehetőséget. A

\sqrt[]{56} < \frac{p}{q} < \sqrt[]{58}

feltétel ekvivalens átalakítások után az

56 q^{2} < p^{2} < 58 q^{2}

alakot ölti, adott

q

nevezőhöz tehát pontosan akkor létezik a megfelelő tört, ha az

(56 q^{2}; 58 q^{2})

nyílt intervallum tartalmaz négyzetszámot. Ilyen négyzetszám nincsen, ha

q = 1

vagy 3: előbbi esetben az

(56; 58)

, a másodikban pedig az

(504; 522)

intervallumot kapjuk. Ha

q

=2, akkor mivel

15^{2} = 225 \in (224; 232)

, ennek megfelelően

\sqrt[]{56} < \frac{15}{2} < \sqrt[]{58}

. Ez természetesen azt jelenti, hogy minden páros

q

nevezőre létezik megfelelő tört: ha

q = 4

, akkor

\frac{30}{4}

, ha

q = 6

, akkor

\frac{45}{6}

.
Ha

q = 5

, akkor mivel

38^{2} = 1444 \in (1400; 1450)

, így

\sqrt[]{56} < \frac{38}{5} < \sqrt[]{58}

, ha pedig

q = 7

, akkor mivel

53^{2} = 2809 \in (2744; 2842)

, ennek megfelelően

\sqrt[]{56} < \frac{53}{7} < \sqrt[]{5} 8

.
Az 1 és a 3 kivételével tehát valóban minden pozitív egész

q

számhoz létezik olyan

p

egész, hogy

\sqrt[]{56} < \frac{p}{q} < \sqrt[]{58}

Geleji János (Budapest, Piarista Gimnázium, 10. o.t.)