Kezdőlap


Feladat:	C.637	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hodzi Bernadette
Füzet:	2002/február, 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	"a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Oszthatóság, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/szeptember: C.637

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromjegyű számot a tízes számrendszerben jelölje: $10^{2} a + 10 b + c$ , ahol $0 \leq a, b, c \leq 9$ és $a \neq 0$ . A nyolcas számrendszerben: $8^{2} u + 8 v + w$ , ahol $0 \leq u, v, w \leq 7$ és $u \neq 0$ . A feltétel szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} (1) & a + b + c = u + v + w = 14, és \\ (2) & 10^{2} a + 10 b + c = 8^{2} u + 8 v + w . \end{matrix} \end{matrix}

Az (1)-ből

c = 14 - a - b

és

w = 14 - u - v

. Ezt helyettesítve (2)-be, majd rendezve az egyenletet kapjuk, hogy

\begin{matrix} 9 (11 a + b) = 7 (9 u + v) . \end{matrix}

Itt a bal oldal osztható 9-cel, így a jobb oldalnak is oszthatónak kell lennie. Mivel 9-nek és 7-nek nincs 1-nél nagyobb közös osztója, csak

9 ∣ 9 u + v

lehetséges. Ebből következik, hogy

v = 0

, hiszen

v \leq 7

, a feltétel szerint. Ekkor (1)-ből

u + w = 14

, s mivel

u, w \leq 7

, következik, hogy

u = w = 7

, azaz a keresett háromjegyű szám a 8-as számrendszerben: 707, ami a tízes számrendszerbe átírva

7 \cdot 8^{2} + 7 = 455

, a jegyek összege valóban 14.

Hotzi Bernadette, (Eger, Lenkey J. Ált. Isk., 8. évf.)