Kezdőlap


Feladat:	C.636	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Izsák Andrea
Füzet:	2002/február, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Egyenlőtlenség-rendszerek, Egészrész, törtrész függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/szeptember: C.636

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk fel a $- 2 \leq x \leq 2$ , $- 3 \leq y \leq 3$ tartományt az egész koordinátájú pontokon átmenő, tengelyekkel párhuzamos egyenesekkel egységnégyzetekre. Válasszunk ki egy négyzetet, legyenek a csúcsai $P_{1} (k, l)$ , $P_{2} (k + 1, l)$ , $P_{3} (k + 1, l + 1)$ , $P_{4} (k, l + 1)$ .
E kis négyzet $x$ tengellyel párhuzamos oldalának belső $P (x; y)$ pontjaira ${x} > 0$ és ${y} = 0$ , mivel $y$ egész, $x$ pedig nem; vagyis ${x} > {y}$ . Ezek a pontok nem tesznek eleget a feltételnek.

1. ábra 2. ábra

A kis négyzet

y

tengellyel párhuzamos oldalainak a pontjaira

{x} = 0

és

{y} \geq 0

, ezekre tehát teljesül, hogy

{x} \leq {y}

.
Húzzuk meg a négyzet

P_{1} P_{3}

átlóját. Az átló

P (x, y)

pontjaira

{x} = {y}

, mivel az átló egyben szögfelező egyenes is. Ezek a pontok tehát megfelelnek a feladat követelményének.
A

P_{1} P_{2} P_{3}

tartomány belső

P (k + d_{1}, l + d_{2})

pontjaira

{x} = d_{1}

{y} = d_{2}

és

d_{1} > d_{2}

miatt a tartomány belső pontjai nem felelnek meg.
A

P_{1} P_{3} P_{4}

tartomány belső

P (k + d_{3}, l + d_{4})

pontjaira

{x} = d_{3} < {y} = d_{4}

, tehát ezek ugyancsak megfelelő pontok.
Összefoglalva: a 2. ábra vastagon kihúzott egyenesei és bevonalkázott háromszögeinek pontjai adják a feladat megoldását.

Izsák Andrea (Szekszárd, Garay J. Gimn., 12. évf.)

Megjegyzés. A KöMaL 488. (2001/8. sz.) oldalán találhatjuk a feladat számítógépes megoldását. A megoldás a Derive matematikai program felhasználásával készült.