A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy . | | Hasonló számolással kapjuk, hogy | | Ez azt jelenti, hogy , és indukcióval kapjuk, hogy ha , akkor . Így miatt , tehát .
Somogyi Dávid (Fazekas Mihály Fővárosi Gyak. Gimn. 12. évf.) |
Megjegyzések. 1. A megoldásból az is kiderül, hogy | | attól függően, hogy a 3-mal osztva 0, 1 vagy 2 maradékot ad.
2. A megoldás során igen felületesen kezeltük a függvények értelmezési tartományát. pontosan akkor nem értelmes, ha . Összetett függvényként akkor értelmes, ha a belső függvény az, tehát , valamint értéke behelyettesíthető, tehát , azaz . Épp ezt az értéket zárja ki tört-alakjának nevezője. pedig akkor értelmes, ha értelmes, azaz és , továbbá behelyettesíthető -be, . Szerencsére ez nem jelent újabb megszorítást, éppen a értéket nem veszi föl. A pontos állítás tehát: ha és , akkor , ezen a két helyen pedig nem értelmes. Ez pedig azt jelenti, hogy ha , akkor értelmezési tartománya nem szűkül tovább, tehát például jogosan helyettesítjük be a 2002-t -be.
3. A megoldás kulcsa az volt, hogy három helyettesítés után megkaptuk az függvényt (az értelmezési tartományon). Ez nyilván a megadott együtthatókon múlik, és ránézésre egyáltalán nem világos, hogy hogyan. Fölvetődhet a kérdés, hogy ehhez az észrevételhez csupán a türelmes próbálgatás ,,jutalmaként" juthatunk-e el.
Az grafikonja Az értelmezési tartomány fenti vizsgálatát újragondolva megsejthetjük, sőt, szemléletesen igazolhatjuk is a talált tulajdonságot, mégpedig a megoldásban elkerülhetetlen számolgatás nélkül. Láttuk, hogy a nyilvánvalóan kizárandó mellett a -t kell kizárnunk, ami . Az alapvető észrevétel az, hogy újabb értékeket már nem kell kizárnunk, hiszen a értéket egyáltalán nem veszi fel. A grafikonon látható, hogy ez azon múlik, hogy a görbe vízszintes aszimptotája . Az aszimptotikus viselkedést szemléletesen úgy is szokás fogalmazni, hogy ha , akkor a függvényérték ,,végtelen nagy", illetve hogy ha az ,,végtelen nagy", akkor a függvényérték . Ha ezt például ténylegesen le akarnánk írni, akkor valahogy így tehetnénk: Ha most beírjuk még, hogy , akkor nehéz nem felfigyelni a ,,láncra": ha ,,bevesszük" a értéket a valós számok közé és az függvényt épp így terjesztjük ki, akkor ez a hármas ciklus azt jelenti, hogy , és . Innen tehát meg lehet sejteni, hogy ,,barátságos" függvény lesz, és így a számolásnak is nagyobb önbizalommal vághatunk neki. De ez a kísérlet lényegében bizonyosságot is szolgáltat, ha meggondoljuk, hogy maga is racionális elsőfokú törtfüggvény, amit három helyettesítési értéke egyértelműen meghatároz. Ha tehát három helyen ugyanazt az értéket veszi föl, mint az függvény, akkor ‐ a teljes értelmezési tartományán ‐ azonos vele. Ehhez persze az függvény értelmezési tartományát és értékkészletét is ki kell bővítenünk a értékkel.
4. A fentiekből az is kiderül, hogy hogyan készíthetők az -hez hasonló tulajdonságú függvények. A kiterjesztett értelmezési tartományon ugyanis az | | Így ha tetszőleges számokra az hármas ciklust szeretnénk elérni, akkor az függvény adódik. Éppen így készült a feladat függvénye az és értékekkel. |
|