Megmutatjuk, hogy $f_3\left(x\right)=x$.

Megjegyzések. 1. A megoldásból az is kiderül, hogy

$\begin{array}{c}{\displaystyle f_n\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \phantom{-}x}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle -\frac{2x+7}{x+3}=f_1\left(x\right)}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle -\frac{3x+7}{x+2}=f_2\left(x\right)}\hfill \end{array}}}\end{array}$

attól függően, hogy $n$ a 3-mal osztva 0, 1 vagy 2 maradékot ad.

 

2. A megoldás során igen felületesen kezeltük a függvények értelmezési tartományát. $f_1\left(x\right)$ pontosan akkor nem értelmes, ha $x=-3$. Összetett függvényként $f_1\left(f_1\left(x\right)\right)$ akkor értelmes, ha a belső függvény az, tehát $x\ne -3$, valamint $f_1\left(x\right)$ értéke behelyettesíthető, tehát $f_1\left(x\right)\ne -3$, azaz $x\ne -2$. Épp ezt az értéket zárja ki $f_2$ tört-alakjának nevezője.
$f_3\left(x\right)=f_1\left(f_2\left(x\right)\right)$ pedig akkor értelmes, ha $f_2\left(x\right)$ értelmes, azaz $x\ne -3$ és $x\ne -2$, továbbá $f_2\left(x\right)$ behelyettesíthető $f_1\left(x\right)$-be, $-\frac{3x+7}{x+2}\ne -3$. Szerencsére ez nem jelent újabb megszorítást, $f_2\left(x\right)$ éppen a $-3$ értéket nem veszi föl. A pontos állítás tehát: ha $x\ne -2$ és $x\ne -3$, akkor $f_3\left(x\right)=x$, ezen a két helyen pedig $f_3\left(x\right)$ nem értelmes. Ez pedig azt jelenti, hogy ha $n>3$, akkor $f_n\left(x\right)$ értelmezési tartománya nem szűkül tovább, tehát például jogosan helyettesítjük be a 2002-t $f_{2001}$-be.

 

3. A megoldás kulcsa az volt, hogy három helyettesítés után megkaptuk az $x\mapsto x$ függvényt (az értelmezési tartományon). Ez nyilván a megadott együtthatókon múlik, és ránézésre egyáltalán nem világos, hogy hogyan. Fölvetődhet a kérdés, hogy ehhez az észrevételhez csupán a türelmes próbálgatás ,,jutalmaként" juthatunk-e el.

Az $f_1\left(x\right)$ grafikonja

Az értelmezési tartomány fenti vizsgálatát újragondolva megsejthetjük, sőt, szemléletesen igazolhatjuk is a talált tulajdonságot, mégpedig a megoldásban elkerülhetetlen számolgatás nélkül.
Láttuk, hogy a nyilvánvalóan kizárandó $-3$ mellett a $-2$-t kell kizárnunk, ami $f_1^{-1}\left(-3\right)$. Az alapvető észrevétel az, hogy újabb értékeket már nem kell kizárnunk, hiszen $f_1$ a $-2$ értéket egyáltalán nem veszi fel. A grafikonon látható, hogy ez azon múlik, hogy a görbe vízszintes aszimptotája $y=-2$.
Az aszimptotikus viselkedést szemléletesen úgy is szokás fogalmazni, hogy ha $x=-3$, akkor a függvényérték ,,végtelen nagy", illetve hogy ha az $x$ ,,végtelen nagy", akkor a függvényérték $-2$.
Ha ezt például ténylegesen le akarnánk írni, akkor valahogy így tehetnénk:

$\begin{array}{c}{\displaystyle f_1\left(-3\right)=\infty \mathrm{,}{f}_1\left(\infty \right)=-2.}\end{array}$

Ha most beírjuk még, hogy $f_1\left(-2\right)=-3$, akkor nehéz nem felfigyelni a

$\begin{array}{c}{\displaystyle -2\stackrel{f_1}{\to }-3\stackrel{f_1}{\to }\infty \stackrel{f_1}{\to }-2}\end{array}$

,,láncra": ha ,,bevesszük" a $\infty$ értéket a valós számok közé és az $f_1$ függvényt épp így terjesztjük ki, akkor ez a hármas ciklus azt jelenti, hogy $f_3\left(-2\right)=-2$, $f_3\left(-3\right)=-3$ és $f_3\left(\infty \right)=\infty$.
Innen tehát meg lehet sejteni, hogy $f_3\left(x\right)$ ,,barátságos" függvény lesz, és így a számolásnak is nagyobb önbizalommal vághatunk neki. De ez a kísérlet lényegében bizonyosságot is szolgáltat, ha meggondoljuk, hogy $f_3$ maga is racionális elsőfokú törtfüggvény, amit három helyettesítési értéke egyértelműen meghatároz. Ha tehát $f_3\left(x\right)$ három helyen ugyanazt az értéket veszi föl, mint az $x\mapsto x$ függvény, akkor ‐ a teljes értelmezési tartományán ‐ azonos vele. Ehhez persze az $x\mapsto x$ függvény értelmezési tartományát és értékkészletét is ki kell bővítenünk a $\infty$ értékkel.

 

4. A fentiekből az is kiderül, hogy hogyan készíthetők az $f_1$-hez hasonló tulajdonságú függvények. A kiterjesztett értelmezési tartományon ugyanis az

$\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}\text{függvény új értékei}f\left(\infty \right)=\frac{a}{c}\text{és}f\left(-\frac{d}{c}\right)=\infty \mathrm{.}}\end{array}$

Így ha tetszőleges $u\ne v$ számokra az $f:\infty \to u\to v\to \infty$ hármas ciklust szeretnénk elérni, akkor az

$\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{u\left(x-v\right)-{\left(u-v\right)}^2}{x-v}}\end{array}$

függvény adódik. Éppen így készült a feladat $f_1$ függvénye az $u=-2$ és $v=-3$ értékekkel.