Feladat: B.3472 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Rácz Béla András 
Füzet: 2002/január, 38 - 40. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Természetes számok, Egyenletrendszerek, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/szeptember: B.3472

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Reggel 6 és este 6 óra között a kismutató minden lehetséges helyzetében pontosan egyszer van, kivéve az egyenesen lefelé mutató állást (6 óra). Ez azonban a feladat szempontjából érdektelen: ekkor ugyanis látható, hogy 6 óra van, mert ha a kismutató a függőlegesen felfelé álló mutató lenne, a másik is függőlegesen felfelé állna.
Az egyforma nagy- és kismutatóval rendelkező óráról akkor és csak akkor nem olvasható le a pontos idő, amikor egyaránt lehetséges, hogy az egyik mutató a nagymutató, és a másik a kicsi, illetve fordítva, de a két mutató nincs azonos helyen (ekkor ugyanis mindegy, hogy melyik melyik.)
Nézzük, mikor van olyan helyzet, hogy mindkét állás lehetséges.
Legyen az egyik mutató elfordulása a fok 12 órához képest, óramutató szerinti irányban. Vegyük először ezt kismutatónak. Ekkor a másik ‐ a nagymutató ‐ elfordulása 12a fok, mert a legutóbbi éjfél vagy dél óta ugyanannyi idő alatt ez 12-szer annyit fordult el. (Persze a 12a-ban benne lehet néhány 360 fokos fordulat is.)
A másik mutatót kismutatónak véve teljesen hasonlóan láthatjuk, hogy az első mutató 144a-val fordult el; elfordulása leírható tehát a-val és 144a-val is. Ezért:

144a=a+k⋅360∘,a=k⋅360∘143.

Ez 0-tól 142-ig minden egyes k-ra más-más a-t ad, azaz a megadott időtartamban pontosan 143-szor volt olyan időpont, hogy nem tudhattuk, melyik a nagymutató, és melyik a kicsi.
Nézzük, hogy hány olyan esetben fedi egymást a két mutató! Ekkor, a fentiekhez hasonlóan:
12a=a+k⋅360∘,a=k⋅360∘11.

Tehát 11 esetben fedi egymást a két mutató.
143 időpontban nem tudjuk, hogy melyik mutató melyik; ebből 11-ben a két mutató fedi egymást, a maradékban más-más időt mutatnak, ha az egyik mutató a kismutató, illetve ha a másik; tehát pontosan 132̲ esetben nem lehet megtudni a pontos időt.
Rácz Béla András, (Bp., Fazekas M. Gimn., 9. o.t.)

 
II. megoldás. Jellemezzük mindkét mutató állását a 12-eshez viszonyított elfordulásával; válasszuk egységként a teljesszög 12-edrészét, 30∘-ot. Ha ebben a mértékrendszerben a kismutató állása a (0≤a<12) ‐ azaz éppen a óra telt el 0 vagy 12 óra óta ‐ akkor a nagymutatóé 12{a}, ahol {...} a megfelelő szám törtrészét jelöli. Így a kismutató a állása esetén a két mutató felcserélése pontosan akkor eredményezi az óramutatók egy egyébként is lehetséges helyzetét, ha
12{12{a}}=a.
Az egyenlet megoldásához írjuk fel az a számot tizenkettes számrendszerben. Ekkor ugyanis a 12-vel való szorzás a ,,tizenkettedesvessző" jobbra léptetését, a törtrész képzése pedig a ,,tizenkettedesvessző" előtt álló jegyek törlését jelenti.
Legyen a=b1,b2b3b4..., ahol tehát 0≤bi<12 egészek, a szám jegyei. A tizenkettes számrendszerbeli felírásban 12{12{a}} kiszámításakor kétszer töröljük le az első jegyet és kétszer léptetjük jobbra a tizenkettedesvesszőt:
12{12{a}}=b3,b4b5...
Ha az így kapott szám egyenlő a-val, azaz b1,b2b3b4... = b3,b4b5..., akkor b1=b3, b2=b4, és a továbbiakban is ezek a jegyek ismétlődnek, az a szám pedig a=b1,b2b1b2¯ alakú, az a tizenkettes számrendszerbeli alakja periodikus és a kéttagú b1b2 jegycsoport a periódus.
Mivel 0≤b1,b2<12, azért összesen 144 darab b1b2 pár és ennek megfelelően 144 ilyen a szám van. Vegyük viszont figyelembe, hogy ha b1=b2, akkor a két mutató fedi egymást. Ilyenkor természetesen meg tudjuk mondani az időt anélkül, hogy a mutatókat meg kéne különböztetnünk. Az összesen 144 lehetőségből ez 12 esetben fordul elő. (Ez valójában csak 11 időpontot jelent, hiszen ha b1=b2=11, akkor a megfelelő 11, 11 11 11 ... éppen a 12 végtelen tizenkettedestört alakja, ami a 0 órának felel meg.
A megmaradó 144-12=132 esetben viszont a megkülönböztethetetlen mutatókat látva valóban nem tudjuk eldönteni, hogy
a12=b1,b2b1b2...vagy pediga21=b2,b1b2b1...
óra telt-e el.
Reggel 6 és este 6 között ‐ és ugyanígy bármely 12 órás időszakban ‐ 132 olyan időpont van, amikor nem tudjuk megállapítani az időt, ha a mutatókat nem tudjuk megkülönböztetni.