A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tegyük fel, hogy néhány lépés után sikerült elérni, hogy a tetraéder mindegyik élén a 0 álljon. Az ide vezető utolsó lépés előtti helyzet ekkor a következő: az egyik csúcsból kiinduló három élen levő számok , és , a másik három élen pedig már 0 áll. Ha és voltak azok, amelyeket a másik két szám különbségével helyettesítettünk, akkor szükségképpen és , azaz . Ekkor az helyébe -nak kellett kerülnie, ezért , vagyis már az utolsó lépés végrehajtása előtt is 0 állt valamennyi élen. Pozitív számokból kiindulva tehát nem juthatunk el a csupa nulla kitöltéshez.
Maja Gergely (Tata, Eötvös J. Gimn., 11. o.t.) Márton Szabolcs (Kézdivásárhely, Nagy Mózes Líceum, 10. o.t.) |
II. megoldás. Vizsgáljuk a tetraéder éleire írt számok négyzetösszegét. Egy lépésben az egy csúcsból induló élekre írt , , számok helyébe rendre , , kerül. A számok négyzetösszegének a megváltozása: | | A számok négyzetösszege tehát nem csökkenhet, ezért pozitív számokból kiindulva nem kaphatunk mindenütt nullát. Puskás Anna (Bp., Fazekas M. Gimn., 9. o.t.) |
|