Kezdőlap


Feladat:	B.3456	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Maja Gergely , Márton Szabolcs , Puskás Anna
Füzet:	2002/január, 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Rekurzív sorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/április: B.3456

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy néhány lépés után sikerült elérni, hogy a tetraéder mindegyik élén a 0 álljon. Az ide vezető utolsó lépés előtti helyzet ekkor a következő: az egyik csúcsból kiinduló három élen levő számok $a$ , $b$ és $c$ , a másik három élen pedig már 0 áll. Ha $b$ és $c$ voltak azok, amelyeket a másik két szám különbségével helyettesítettünk, akkor szükségképpen $a = c$ és $a = b$ , azaz $a = b = c$ . Ekkor az $a$ helyébe $b + c = 2 a$ -nak kellett kerülnie, ezért $a = 0$ , vagyis már az utolsó lépés végrehajtása előtt is 0 állt valamennyi élen. Pozitív számokból kiindulva tehát nem juthatunk el a csupa nulla kitöltéshez.

Maja Gergely (Tata, Eötvös J. Gimn., 11. o.t.)
Márton Szabolcs (Kézdivásárhely, Nagy Mózes Líceum, 10. o.t.)

II. megoldás. Vizsgáljuk a tetraéder éleire írt számok négyzetösszegét. Egy lépésben az egy csúcsból induló élekre írt

a

b

c

számok helyébe rendre

\pm (b - c)

\pm (a - c)

{(a + b)}^{2}

kerül. A számok négyzetösszegének a megváltozása:

\begin{matrix} \begin{matrix} {(b - c)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(a + b)}^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) & = \\ = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b - 2 a c - 2 b c = {(a + b - c)}^{2} & \geq 0. \end{matrix} \end{matrix}

A számok négyzetösszege tehát nem csökkenhet, ezért pozitív számokból kiindulva nem kaphatunk mindenütt nullát.

Puskás Anna (Bp., Fazekas M. Gimn., 9. o.t.)