Kezdőlap


Feladat:	B.3445	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Klár Tímea , Sebestyén Krisztián , Tuska Gábor
Füzet:	2002/január, 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/március: B.3445

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon $a$ , $b$ , $c$ -vel. Ha az $a$ oldallal párhuzamos egyenes a háromszögből egy $x a$ , $x b$ , $x c$ oldalú kisebb háromszöget vág le, akkor ez az eredeti háromszöghöz hasonló, ezért a területe annak $x^{2}$ -szerese. Ez pontosan akkor egyenlő a megmaradó rész (trapéz) területével, ha $x^{2} = \frac{1}{2}$ , vagyis $x = \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ . Ekkor a kis háromszög területe $x (a + b + c)$ , a trapézé pedig $(1 + x) a + (1 - x) (b + c)$ . A két kerület akkor és csak akkor egyenlő, ha

\begin{matrix} \begin{matrix} x (a + b + c) & = (1 + x) a + (1 - x) (b + c), \\ x & = \frac{a + b + c}{2 (b + c)}, \\ \frac{\sqrt[]{2}}{2} & = \frac{a + b + c}{2 (b + c)}, azaz \\ a & = (\sqrt[]{2} - 1) (b + c) . \end{matrix} \end{matrix}

Ilyen háromszög nyilván létezik, hiszen

0 < \sqrt[]{2} - 1 < 1

; pl.

a = \sqrt[]{2} - 1

b = c = \frac{1}{2}

Klár Tímea (Gödöllő, Török Ignác Gimn., 8. o.t.)
Sebestyén Krisztián (Bp., Berzsenyi D. Gimn., 9. o.t.)
Tuska Gábor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 9. o.t.)