Feladat: B.3432 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/január, 33 - 36. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/február: B.3432

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat első két kérdésére közvetlen, gyors választ adhatunk a táblázat képzési szabálya alapján.
a) Egy adott sor minden eleme a következő sornak pontosan két eleméhez járul hozzá, ezért a másodiktól kezdve minden sorban kétszer akkora az elemek összege, mint az előzőben. A táblázat századik sorában tehát tehát 299-szer annyi az elemek összege, mint az elsőben, így a szóban forgó összeg 3⋅299.
b) Ha váltakozó előjellel adjuk össze egy sorban a számokat, akkor a másodiktól kezdve a megelőző sor elemei ennek az előjeles összegnek két szomszédos tagjához járulnak hozzá, azért egyszer pozitív, egyszer pedig negatív előjellel vesznek részt az összegben. Az egy-egy sorban váltakozó előjellel összeadott számok értéke tehát a második sortól kezdve 0, így a századikban is.

 

Megjegyzés. Táblázatunk viselkedésében a tényleges Pascal háromszög jól ismert tulajdonságaira ismerhetünk, és az is látszik, hogy a fenti két tulajdonság kizárólag a rekurzív képzési szabály: (nk)=(n-1k-1)+(n-1k) következménye.
A harmadik kérdés megválaszolása egyszerűbbé válik, ha a táblázatunkat és a Pascal háromszöget a hagyományostól eltérő formába írjuk (1. ábra). Ebben a formában a 0-dik sor után minden elemet úgy kapunk, hogy összeadjuk a fölötte álló elemet és annak baloldali szomszédját. (Hogy ez még a 0-dik oszlop elemeire is teljesüljön, azért a táblázatot szokás egy ,,(-1)-edik'', 0-kkal kitöltött oszloppal is kiegészíteni.)
111111121→12113311331⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮1. ábra
02022024202662⋮⋮⋮⋮⋮2. ábra

Tekintsük most a 2. ábra Pascal-szerű táblázatát, amelyet az 1. ábra átrendezett Pascal-háromszögéből kaptunk úgy, hogy annak minden elemét megszoroztuk 2-vel, az elemeket eggyel jobbra toltuk és az így felszabaduló 0-dik oszlopot nullákkal töltöttük ki. Erre a táblázatra nyilván teljesül az eredeti képzési szabály, hisz annak érvényességén sem a 2-vel való szorzás, sem pedig az eltolás nem változtat. Végül vegyük észre, hogy ha a két táblázatot elemenként összeadjuk (3. ábra), akkor az eredményül kapott táblázatra is teljesül a megadott képzési szabály, hiszen összeg tagjai csoportosíthatók. Mivel az összegül kapott táblázat 0-dik sorában éppen a kiinduló 1 és 2 áll és a táblázat további elemeit a képzési szabály egyértelműen meghatározza, a feladat táblázata éppen az 1. és 2. ábra táblázatainak elemenként elkészített összege.
1111211331⋮⋮⋮⋮+02022024212662⋮⋮⋮⋮⋮=12132145215972⋮⋮⋮⋮⋮3. ábra

Ha a feladat sorszámozásától eltekintünk, akkor a Pascal háromszög n-edik sorának k-adik eleme (nk) (n, k≥0), a 2. ábra táblázatában eltolt táblázatban ugyanezen a helyen 2⋅(nk-1) áll. Ha tehát a sorok és az elemek számozását a 0-val kezdjük, akkor táblázatunk n-edik sorának k-adik eleme (nk)+2⋅(nk-1). A feladat szövegezése szerint tehát a 100-adik sor 47-edik eleme (9946)+2⋅(9945).
 
Megjegyzések. 1. Az első két kérdés természetesen megválaszolható a talált formula és a binomiális együtthatókra vonatkozó alapvető összefüggések felhasználásával is.
2. A Pascal háromszög úgy is elkészíthető, hogy a 0-dik sort egy mindkét irányban végtelen számsorozatnak tekintjük, amelynek egyetlen nem 0 eleme az 1, a 0-dik helyen áll. Ezután pedig minden elem a fölötte lévő kettő összege. Így természetes módon jelennek meg az 1-esek a háromszög két szélén és a formai okokból időnként szükséges negatív, illetve n-nél nagyobb k értékekre felírt (nk) mennyiségek értéke láthatóan 0. Nyilvánvaló, hogy ha a kiinduló sorozatot eltoljuk, illetve valós számmal szorozzuk, akkor ugyanilyen tulajdonságú táblázatokat kapunk, végül ilyenek összegeként minden olyan táblázatot megkaphatunk, ahol a kezdősorban véges sok 0-tól különböző elem áll és a feladatban leírt képzési szabállyal készül.
001011012101331⋮⋮⋮⋮⋮+111121133114641⋮⋮⋮⋮⋮=112132145215972⋮⋮⋮⋮⋮4. ábra

3. A feladat táblázata nem csak a megadott módon kapható. Ha az 1. ábra második Pascal-táblázatát egy-egy egységgel lefelé és jobbra toljuk, akkor a 4. ábra első táblázatát kapjuk. Ha most ezt a két táblázatot adjuk össze, majd az összeg-táblázat első sorát elhagyjuk, akkor a feladat táblázata adódik. Innen az n-edik sor k-adik elemére (n≥0) (n+1k)+(nk-1) adódik, ami nyilván a fenti összeg egy másik alakja.