A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen rögzített valós szám, és tekintsük az függvényt. minden valós számra értelmes, és mint az szokványos eszközökkel (elemi differenciálszámítással) megmutatható, a intervallumon növő, az intervallumon fogyó, és . Ezzel a jelöléssel adott és számokra pontosan akkor teljesül a feladat előírása, ha . Az 1.a), b) ábrán az grafikonja látható , illetve esetben. Könnyű számolással kapjuk, hogy ha , akkor . Így ha , akkor minden esetén, ha pedig , akkor minden esetén. Ez azt jelenti, hogy ha a négy adott valós szám közül kettő esik akár a , akár pedig a intervallumba, akkor teljesül rájuk az előírt egyenlőtlenség. Ha egyik fenti intervallumban sincs egynél több a megadott számok közül, akkor legalább kettő esik a intervallumba. Egyszerű számolással kapjuk, hogy pontosan akkor teljesül, ha . Így ha , akkor hiszen az szigorúan monoton fogyó az intervallumon. Ezzel megmutattuk, hogy négy valós szám között valóban mindig található kettő, amelyekre teljesül az előírt egyenlőtlenség.
II. megoldás. Némi tapasztalat és intuíció révén természetes jelentés adható az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kétváltozós kifejezésnek, továbbá ‐ ennek nyomán ‐ maga az állítás is egy geometriai közhellyé egyszerűsödik. A nevezőben álló pitagoraszi mennyiségek nyomán természetesnek látszik az és a pontok bevezetése (2. ábra). A koszinusztételt az háromszögben felírva: | | ahonnan rendezés után , a szóban forgó egyenlőtlenség bal oldala adódik, maga a feltétel pedig a | | alakot ölti. Ebben a formában az állítás azt jelenti, hogy ha adott négy pont az egyenesen, akkor van köztük kettő, és , hogy . Ez pedig nyilvánvaló, az pontból kiinduló és meredekségű félegyenesek a nyílt pozitív félsíkot három -os szögtartományra osztják, a középső nyílt, a két szélső pedig félig nyílt, így a skatulyaelv szerint a négy adott pont között van olyan kettő, amelyik ugyanannak a tartománynak a belsejében található (3. ábra). Erre a két pontra pedig az szög kisebb, mint .
Megjegyzések. 1. A két megoldás kapcsolata jól látható, a második jelentése mintegy értelmezi az első függvényének a viselkedését, az ott kapott eredmények a geometriai megközelítésben érthetők meg. A feladat persze korrekt módon oldható meg az első megoldás módszerével, legfeljebb az az érzésünk, hogy egy sötét szobában kerestük a kijáratot a falak mentén tapogatva ‐ és meg is találtuk ‐, míg a második megoldásban először a lámpát kapcsoltuk fel. Ez mindig látványos, de jó tudni, hogy akkor sem kell kétségbe esni, ha nem találjuk a kapcsolót. 2. A második megoldás ötletéhez az és vektorok skalárszorzata, , illetve a definícióból adódó alak felismerése közvetlenül is elvezethet, egyúttal rámutathatunk a feladat lehetséges eredetére.
|
|