Kezdőlap


Feladat:	B.3463	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2001/december, 544 - 545. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lefedések, Körök, Mozgási geometria, Felület súrolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/május: B.3463

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B$ átmérőjű félkörívlemez a szivacs. Ha $A$ az $x$ tengelyen, $B$ az $y$ tengelyen mozog, akkor az $A B$ átmérőjű kör átmegy $O$ -n. Ezért a letörölt tartomány egyetlen pontja sem lehet 20 cm-nél távolabb az $O$ ponttól, az $O$ középpontú, 20 cm sugarú negyedkörön kívüli pontok nem érhetők el a szivaccsal.

1. ábra

2. ábra

3. ábra

O

középpontú 10 cm sugarú negyedkör belső pontjai lefedhetők az

x

, illetve

y

tengelyen nyugvó félkörökkel (2. ábra).
Ha

P

a két negyedkör által határolt gyűrűszerű tartomány pontja és

O P

a külső negyedkört az

R

pontban metszi, akkor jelölje az

R

pont vetületét a tengelyeken

R_{1}

és

R_{2}

. Ekkor

O R_{1} R R_{2}

téglalap, átlói

R O = R_{1} R_{2} = 20 cm

, és így a téglalap

C

középpontjára

O C = 10 cm

C

rajta van az

O

középpontú negyedkörön, a

P

pont pedig a

C R

szakaszon. A

P

pontot tehát tartalmazza az

R_{1} R R_{2}

derékszögű háromszög, ami Thalesz tétele szerint teljes egészében benne van az

R_{1} R_{2}

átmérőjű

R

-en átmenő félkörben. Ebben a helyzetében tehát a szivacs ,,letörli'' a

P

pontot.
Útja során tehát a szivacs pontosan az

O

középpontú,

20 cm

sugarú zárt negyedkörlemez pontjait törli végig, így a letörölt terület

\frac{1}{2} \cdot 20^{2} π = 100 π {cm}^{2}