Kezdőlap


Feladat:	B.3446	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/december, 541. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/március: B.3446

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat feltételét a $q$ -ban másodfokú $q^{2} - (2 p - 3) q + (p^{2} - 4 p + 3) \equiv 0$ egyenletté rendezhetjük. A $p (x) = x^{2} + x + 1$ helyettesítés után két megoldást kapunk: a $q_{1} = x^{2} + 2 x$ és a $q_{2} = x^{2} - 1$ polinomokat. Ezek segítségével a feladat megkövetelte azonosság bal oldala szorzattá alakítható:

\begin{matrix} \begin{matrix} p^{2} (x) - 2 p (x) q (x) + q^{2} (x) - 4 p (x) + 3 q (x) + 3 \equiv \\ \equiv q^{2} (x) - (2 x^{2} + 2 x - 1) q (x) + (x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2 x) \equiv \\ \equiv [q (x) - (x^{2} + 2 x)] [q (x) - (x^{2} - 1)] . \end{matrix} \end{matrix}

Nemnulla polinomok szorzata nem lehet a nullapolinom, ezért a két tényező valamelyike csak az azonosan nulla polinom lehet. Tehát

q_{1}

és

q_{2}

megoldások, rajtuk kívül pedig nincs a feladatnak több megoldása.