Kezdőlap


Feladat:	C.632	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/december, 530 - 531. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Négyzetszámok tulajdonságai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/május: C.632

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $a_{n}$ a sorozat $n$ -edik tagját. Erre teljesül, hogy $a_{n} = x^{2} - 1$ .
Legyen $x$ többszöröse 3-nak, azaz $x = 3 k$ , ekkor $a_{n} = x^{2} - 1 = 9 k^{2} - 1$ , ez 3-nak nem többszöröse, ilyen alakú számok tehát nem lesznek a sorozatban.
Ha $x = 3 k + 1$ alakú, akkor

\begin{matrix} a_{n} = {(3 k + 1)}^{2} - 1 = 9 k^{2} + 6 k, \end{matrix}

ez többszöröse 3-nak. Ilyen alakú számok szerepelni fognak a sorozatban.
Végül, ha

x = 3 k + 2

, akkor

\begin{matrix} a_{n} = {(3 k + 2)}^{2} - 1 = 9 k^{2} + 12 k + 3, \end{matrix}

ezek is tagjai a sorozatnak. Így minden egész számot megvizsgáltunk (hiszen egy egész szám vagy többszöröse 3-nak, vagy 3-mal osztva 1-et vagy 2-t ad maradékul).
A sorozat tagjai tehát 3, 15, 24, 48, 63, 99,

...

Könnyen belátható, hogy ha

n

páratlan, akkor

k = \frac{n - 1}{2}

és

a_{n} = 9 k^{2} + 12 k + 3

; például

n = 1

-re

k = 0

és

a_{1} = 3

.
A 2001 páratlan, így

k = \frac{n - 1}{2} = \frac{2001 - 1}{2} = 1000

, és

a_{n} = 9 k^{2} + 12 k + 3

miatt

a_{2001} = 9 \cdot 10^{6} + 12 \cdot 10^{3} + 3

, ami 1000-rel osztva 3-at ad maradékul.

Megjegyzés. A sorozat tagjait 1-gyel növelve a 4, 16, 25, 49,

...

négyzetszámokból álló sorozatot, ezek négyzetgyökét véve a 3-mal nem osztható számok 2, 4, 5, 7,

...

sorozatát kapjuk. Ennek a

k

-adik eleme minden páratlan

k

-ra

(k - 1) \cdot \frac{3}{2} + 2

, minden páros

k

-ra

k \cdot \frac{3}{2} + 1

. A sorozat 2001-edik eleme eszerint

2000 \cdot \frac{3}{2} + 2

négyzeténél 1-gyel kevesebb, ez pedig

3002^{2} - 1

, ami láthatóan

2^{2} - 1 = 3

maradékot ad 1000-rel osztva.
A transzformált sorozat ,,rövidebben''

b_{k} = 1 + [\frac{3 k}{2}]

alakban is írható, ahol

k \geq 1

k = 2001

-re ismét

b_{k} = 1 + 3001 = 3002

adódik.