Feladat: B.3438 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Rácz Béla András 
Füzet: 2001/október, 407 - 408. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/február: B.3438

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A harmadik tulajdonságból következik, hogy az f függvény szimmetrikus, azaz az x, y, z változók bármely permutációjára egyenlő értéket vesz föl.
Így tetszőleges d valós számra egyfelől

f(-d,0,d)=f(d,0,-d),
másfelől a második tulajdonságot t=-1-re alkalmazva
f(-d,0,d)=-f(d,0,-d).
A két eredményt összevetve
f(-d,0,d)=0.
Az első tulajdonság felhasználásával végül
f(2000,2001,2002)=2001+f(-1,0,1)=2001.

 
Megjegyzések. 1. Hasonlóan igazolható, hogy ha x, y és z egy számtani sorozat szomszédos elemei úgy, hogy y=x+z2, akkor f(x,y,z)=y.
 
2. A feladatban megadott tulajdonságú függvény létezik, például f(x,y,z)=x+y+z3. Az viszont nem igaz, hogy a megadott tulajdonságok csak erre a függvényre teljesülnek. Rácz Béla András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.) végtelen sok ilyen függvényt talált. Könnyű ellenőrizni, hogy tetszőleges valós a esetén az alábbi függvények rendelkeznek a megadott tulajdonságokkal:
f(x,y,z)={x+y+z3,ha  x,  y  és  z  között nincsenek egyenlők,
 
ax+(1-a)z,ha  x=y;
 
ay+(1-a)x,ha  y=z;
 
az+(1-a)y,ha  x=z.