Kezdőlap


Feladat:	C.634	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/október, 402 - 403. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Csonkakúp, Térfogat, Háromszögek hasonlósága, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/május: C.634

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a csonkakúp magasságát $m$ , alapkörének sugarát $r$ , a fedőkör sugarát $R$ , a $\frac{1}{2}$ literes magasságban metsző kör sugarát pedig $r_{1}$ .
Az ábrán látható $A B C$ háromszög hasonló az $A D E$ háromszöghöz. A hasonlóságból:

\begin{matrix} \begin{matrix} (R - r) : m = (r_{1} - r) : \frac{2}{3} m, \\ ahonnan \\ r_{1} = \frac{2}{3} (R - r) + r = \frac{2}{3} R + \frac{1}{3} r . \end{matrix} \end{matrix}

A csonkakúp térfogata:

V = \frac{m π}{3} (R^{2} + R r + r^{2})

, így a teljes térfogat (

1 liter = 1000 {cm}^{3}

\begin{matrix} 1000 = \frac{m π}{3} (R^{2} + R r + r^{2}) . \end{matrix}

\frac{1}{2}

literhez tartozó térfogat:

500 = \frac{\frac{2}{3} m π}{3} (r_{1}^{2} + r_{1} r + r^{2})

.
A két egyenlet mindegyikéből fejezzük ki az

m

értéket, tegyük egyenlővé, és utána helyettesítsük be az

r_{1} = \frac{2 R + r}{3}

értéket:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{3000}{(R^{2} + R r + r^{2})} = \frac{4500}{2 (r_{1}^{2} + r_{1} r + r^{2})}, \\ 12 [{(\frac{2 R + r}{3})}^{2} + \frac{(2 R + r) r}{3} + r^{2}] = 9 R^{2} + 9 R r + 9 r^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Rendezve, a következő egyenlet kapjuk:

25 r^{2} + 13 R r - 11 R^{2} = 0

. Osszunk végig

R^{2}

-tel, és vezessük be a keresett

\frac{r}{R}

arányra az

u

változót:

25 u^{2} + 13 u - 11 = 0

, ahonnan a pozitív megoldás

u = \frac{\sqrt[]{1269} - 13}{50}

.
Az alapkör és a fedőkör átmérőjének aránya,

u = \frac{r}{R} \approx 0,452