Feladat: C.627 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2001/október, 401 - 402. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai egyenletrendszerek, Nevezetes azonosságok, Esetvizsgálat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/április: C.627

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) egyenletet emeljük négyzetre, a (2) egyenlet két oldalát pedig alakítsunk szorzattá:

a2+2ab+b2=c2+2cd+d2,(3)(a+b)(a2-ab+b2)=(c+d)(c2-cd+d2).(4)
Ha a+b=0, akkor a=-b, de akkor c+d=0 is teljesül, és így c=-d.
Könnyen ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletrendszernek.
Ha a+b=c+d≠0, akkor egyszerűsítsük a (4) egyenletet a+b=c+d-vel, és vonjuk ki (3)-ból; azt kapjuk, hogy ab=cd, és mivel a+b=c+d, a gyökök és együtthatók ismert összefüggése miatt a és b, valamint c és d ugyanannak a másodfokú egyenletnek a gyökei. Ez pedig azt jelenti, hogy vagy a=c és b=d, vagy a=d és b=c, és ezek ugyancsak megoldásai az egyenletrendszernek.