Kezdőlap


Feladat:	C.623	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/október, 401. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/március: C.623

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A (3) egyenletből fejezzük ki a $c$ -t, és helyettesítsük be a (2) egyenletbe:

\begin{matrix} a^{2} \cdot (- \frac{1}{a b}) - a b - a - (- \frac{1}{a b}) = 0. \end{matrix}

Rendezve az egyenletet azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 1 - a^{2} - a^{2} b^{2} - a^{2} b = 0. \end{matrix}

(4)

Vonjuk ki a (4) egyenletből az (1)-et:

\begin{matrix} 2 a^{2} b^{2} + a^{2} b - a b = 0, \end{matrix}

szorzattá alakítva az

a b (2 a b + a - 1) = 0

egyenlethez jutunk. Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. A (3) egyenlet miatt

a b \neq 0

, így

2 a b + a - 1 = 0

, ahonnan

\begin{matrix} a = \frac{1}{2 b + 1}, (2 b + 1 \neq 0, b \neq - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

Ezt helyettesítve (1)-be a

\begin{matrix} {(\frac{1}{2 b + 1})}^{2} b^{2} - {(\frac{1}{2 b + 1})}^{2} - \frac{1}{2 b + 1} \cdot b + 1 = 0 \end{matrix}

b

-ben másodfokú egyenletet kaptuk, ahonnan rendezés után

3 b^{2} + 3 b = 0

adódik, vagyis

3 b (b + 1) = 0

. Mivel

b \neq 0

b = - 1

.
Az

a = \frac{1}{2 b + 1}

-ből

a = - 1

, és (3) miatt

c = - 1

.
Az egyenletrendszer megoldása:

a = - 1

b = - 1

c = - 1

.
Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek az értékek valóban kielégítik az egyenletrendszer.