Kezdőlap


Feladat:	1999. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Terpai Tamás
Füzet:	1999/október, 393 - 394. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/szeptember: 1999. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$x$ helyére $f (y)$ -t helyettesítve és a $k = f (0)$ jelölést használva:

\begin{matrix} \begin{matrix} f (0) & = f (f (y)) + {(f (y))}^{2} + f (f (y)) - 1 \\ f (f (y)) & = \frac{1}{2} (k + 1 - {(f (y))}^{2}) . \end{matrix} \end{matrix}

Ezt beírva az eredeti feltételbe:

\begin{matrix} f (x - f (y)) = \frac{1}{2} (k - 1 - {(f (y))}^{2}) + x f (y) + f (x) . \end{matrix}

Legyen

g (x) = f (x) + \frac{x^{2}}{2}

. Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} g (x - f (y)) & = f (x - f (y)) + \frac{{(x - f (y))}^{2}}{2} = \\ = \frac{1}{2} (k - 1 - {(f (y))}^{2}) + x f (y) + g (x) - \frac{x^{2}}{2} + \frac{{(x - f (y))}^{2}}{2}, \\ g (x - f (y)) & = x f (y) + g (x) - \frac{x^{2}}{2} + \frac{k - 1 - {(f (y))}^{2}}{2} - \frac{{(x - f (y))}^{2}}{2} = g (x) + \frac{k - 1}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Először belátjuk, hogy

k = 1

. Mivel az azonosan 0 függvény nem megoldás, létezik olyan

y \in R

, amelyre

f (y) \neq 0

, így

x = \frac{1}{f (y)}

-t helyettesíthetünk az eredeti képletbe:

\begin{matrix} f (x - f (y)) = f (f (y)) + f (x), azaz f (a) = f (b) + f (c) \end{matrix}

alakú egyenlőséget kapunk.

\begin{matrix} g (x - f (a)) = g (x) + \frac{k - 1}{2}, g ((x - f (b)) - f (c)) = g (x - f (b)) + \frac{k - 1}{2} = g (x) + k - 1. \end{matrix}

E kettő egyenlőségéből

k - 1 = \frac{k - 1}{2}

, azaz

k = 1

következik.
Ekkor viszont

g (x - f (y)) = g (x)

, tehát

f (x)

minden

x

-re periódusa

g

-nek. Másrészt

f (0) = k = 1

, ebből

\begin{matrix} f (1) = f (f (0)) = \frac{1}{2} {(1 + 1 - 1)}^{2} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

tehát

\frac{1}{2}

függvényérték, és így

g

-nek periódusa. De

\begin{matrix} f (x - 1) = f (x - f (0)) = f (f (0)) + x f (0) + f (x) - 1 = \frac{1}{2} + x + f (x) - 1 = f (x) - \frac{1}{2} + x \end{matrix}

is függvényérték, tehát

g

-nek periódusa.
Azt kaptuk, hogy

g

-nek periódusa

f (x)

f (x - 1)

és

\frac{1}{2}

, tehát ugyancsak periódus az

f (x) - f (x - 1) + \frac{1}{2}

, ami pedig éppen

x

.
Tehát

g

minden szám szerint periodikus és csak így konstans lehet.

g (0) = f (0) + \frac{0^{2}}{2} = 1

, tehát

g (x) = 1

, amiből

f (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2}

.
Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy ez valóban megoldás is.

Terpai Tamás megoldása