Kezdőlap


Feladat:	2001. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csóka Endre
Füzet:	2001/október, 389 - 390. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Harmonikus közép, Kvadratikus közép, Esetvizsgálat, Csebisev-féle egyenlőtlenség, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/szeptember: 2001. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szimmetria miatt feltehetjük, hogy $a \geq b \geq c$ .
1. eset: $a + b \leq 8 c$ . Ekkor $a^{2} + 8 b c \leq b^{2} + 8 c a$ , hiszen ebből ekvivalens lépésekkel $0 \leq b^{2} - a^{2} + 8 a c - 8 b c$ , $0 \leq (a - b) (8 c - a - b)$ -t kapjuk, ami nyilvánvalóan igaz. Hasonló meggondolásokból, felhasználva a $b + c \leq 8 a$ összefüggést, $b^{2} + 8 c a \leq c^{2} + 8 a b$ is igaz, tehát $a$ , $b$ , $c$ azonosan rendezett a $\frac{1}{\sqrt[]{a^{2} + 8 b c}}$ , $\frac{1}{\sqrt[]{b^{2} + 8 c a}}$ , $\frac{1}{\sqrt[]{c^{2} + 8 a b}}$ számokkal, így a Csebisev-egyenlőtlenségből:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + 8 b c}} + \frac{b}{\sqrt[]{b^{2} + 8 c a}} + \frac{c}{\sqrt[]{c^{2} + 8 a b}} \geq \\ \geq \frac{1}{3} (a + b + c) (\frac{1}{\sqrt[]{a^{2} + 8 b c}} + \frac{1}{\sqrt[]{b^{2} + 8 c a}} + \frac{1}{\sqrt[]{c^{2} + 8 a b}}) . \end{matrix} \end{matrix}

Felhasználva a harmonikus és négyzetes közepek közti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt[]{a^{2} + 8 b c}} + \frac{1}{\sqrt[]{b^{2} + 8 c a}} + \frac{1}{\sqrt[]{c^{2} + 8 a b}}) = \\ = \frac{1}{\frac{3}{\frac{1}{\sqrt[]{a^{2} + 8 b c}} + \frac{1}{\sqrt[]{b^{2} + 8 c a}} + \frac{1}{\sqrt[]{c^{2} + 8 a b}}}} \geq \frac{1}{\sqrt[]{\frac{(a^{2} + 8 b c) + (b^{2} + 8 c a) + (c^{2} + 8 a b)}{3}}} . \end{matrix} \end{matrix}

Elég tehát belátni, hogy

\begin{matrix} \frac{a + b + c}{\sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 8 a b + 8 b c + 8 c a}{3}}} \geq 1. \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} Ezt rendezve \\ \sqrt[]{3} (a + b + c) & \geq \sqrt[]{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 8 a b + 8 b c + 8 c a}, \\ 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a) & \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 8 a b + 8 b c + 8 c a, \\ 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 c a & \geq 0, \\ {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} & \geq 0, \end{matrix} \end{matrix}

ami nyilvánvaló.
2. eset:

8 c < a + b

. Ekkor

\begin{matrix} \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + 8 b c}} > \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + b (a + b)}} > \frac{a}{\sqrt[]{{(a + b)}^{2}}} = \frac{a}{a + b} . \end{matrix}

Hasonlóan

\frac{b}{\sqrt[]{b^{2} + 8 c a}} > \frac{b}{a + b}

, tehát

\begin{matrix} \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + 8 b c}} + \frac{b}{\sqrt[]{b^{2} + 8 c a}} + \frac{c}{\sqrt[]{c^{2} + 8 a b}} > \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a + b} = 1. \end{matrix}

Ezzel az állítást beláttuk.

Csóka Endre (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 10. o.t.)