Legyen $F$ a $BC$ oldal felezőpontja. Az $FOC\sphericalangle$ éppen a $CAB\sphericalangle =\alpha$-hoz tartozó középponti szög fele, így $FOC\sphericalangle =\alpha$. Innen $OCP\sphericalangle =OCB\sphericalangle ={90}^{\circ }-\alpha$, tehát azt kell bizonyítani, hogy $POC\sphericalangle <OCP\sphericalangle$, ami ekvivalens $CP<OP$-vel (1. ábra).
Legyen $A\text{'}$ az $A$ tükörképe a $BC$ felezőmerőlegesére; ekkor $A\text{'}$ is a körülírt körön van, és $A\text{'}CB\sphericalangle =ABC\sphericalangle$. A feltétel szerint tehát $A\text{'}CA\sphericalangle =ACB\sphericalangle -A\text{'}CB\sphericalangle \ge {30}^{\circ }$, és így $AA\text{'}$, az $ACA\text{'}$ szög szárai által a körből kimetszett húr hossza legalább $r$, a körülírt kör sugara (2. ábra). Így $FP=\frac{AA\text{'}}{2}\ge \frac{r}{2}$.
Mivel az $ABC$ háromszög hegyesszögű, a körülírt kör $BC$ húrja kisebb az átmérőnél, így $CF$, a húr fele, kisebb, mint $r$.
Innen $CP=CF-FP<r-\frac{r}{2}=\frac{r}{2}\le FP$, a $CP$ szakasz tehát az $OP$ vetületénél, az $FP$ szakasznál is kisebb.