Kezdőlap


Feladat:	C.609	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/szeptember, 350 - 351. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont és egyenes távolsága, Koordináta-geometria, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/december: C.609

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ábrázoljuk az egyenest a koordináta-rendszerben, és vegyünk fel egy tetszőleges $P (a; b)$ rácspontot ( $a$ és $b$ egész).

Határozzuk meg a $P$ pont távolságát az $e$ egyenestől. Állítsunk $P$ ponton keresztül merőlegest az $e$ egyenesre. A merőleges egyenes egyenlete: $y - b = - \frac{4}{3} (x - a)$ . Ezután meghatározzuk a két egyenes $M$ metszéspontjának koordinátáit, majd a $P M$ távolságot.

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 x - 4 y & = - 4 & / \cdot 4 / \cdot 3 \\ 4 x + 3 y & = 3 b + 4 a & / \cdot (- 3) / \cdot 4 \end{matrix} \end{matrix}

Szorozzuk meg az első egyenletet

(- 4)

-gyel, a másodikat

3

-mal, majd az elsőt 3-mal és a másodikat 4-gyel, és adjuk össze az egyenleteket.

\begin{matrix} \begin{matrix} - 12 x + 16 y & = 16 \\ 12 x + 9 y & = 9 b + 12 a, \\ 25 y & = 9 b + 12 a + 16, \end{matrix} \begin{matrix} 9 x - 12 y & = - 12 \\ 16 x + 12 y & = 12 b + 16 a \\ 25 x & = 12 b + 16 a - 12, \end{matrix} \end{matrix}

azaz

y = \frac{1}{25} (9 b + 12 a + 16)

és

x = \frac{1}{25} (12 b + 16 a - 12)

. A

P

pont távolsága

e

-től:

\begin{matrix} P M = \sqrt[]{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} = \sqrt[]{{[\frac{1}{25} (12 b + 16 a - 12) - a]}^{2} + {[\frac{1}{25} (9 b + 12 a + 16) - b]}^{2}} . \end{matrix}

Alakítsuk át a gyökjel alatti kifejezéseket:

\begin{matrix} \begin{matrix} {[\frac{1}{25} (12 b + 16 a - 12 - 25 a)]}^{2} + {[\frac{1}{25} (9 b + 12 a + 16 - 25 b)]}^{2} = \\ = {[\frac{1}{25} \cdot (12 b - 9 a - 12)]}^{2} + {[\frac{1}{25} (12 a + 16 - 16 b)]}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

\frac{1}{25}

-öt ki lehet emelni a gyökjel alól, és a zárójeles kifejezésekből kiemelhető 3, illetve 4. Vagyis átalakítva kapjuk, hogy a gyökjel alatt

\begin{matrix} {[3 (4 b - 3 a - 4)]}^{2} + {[4 (3 a - 4 b + 4)]}^{2} \end{matrix}

áll. Legyen

4 b - 3 a - 4 = u

, akkor

- 4 b + 3 a + 4 = - u

. Ezt helyettesítve

\begin{matrix} P M = \frac{1}{25} \sqrt[]{{(3 u)}^{2} + {[4 (- u)]}^{2}} = \frac{1}{25} \sqrt[]{25 u^{2}} = \frac{1}{25} \cdot 5 | u | = | \frac{4 b - 3 a - 4}{5} |, \end{matrix}

ez pedig valóban racionális, mivel

a

és

b

egészek.

Megjegyzés. Az állítás minden olyan

p x + q x + t = 0

egyenletű egyenesre igaz, amelyben

p^{2} + q^{2}

négyzetszám (

p

q

t

egészek).