Kezdőlap


Feladat:	C.608	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/szeptember, 350. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Kombinációk, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/december: C.608

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1‐80-ig terjedő egész számok közül 20 számot $(\binom{80}{20})$ -féleképpen választhatunk ki. Összesen 9 számban fordul elő a 8-as számjegy, ezek a 8., 18., 28., 38., 48., 58., 68., 78., 88. Tehát a kedvező esetek akkor fordulnak elő, ha a többi 71 számból választunk ki 20-at.
A keresett $p$ valószínűség így:

\begin{matrix} p = \frac{(\binom{71}{20})}{(\binom{80}{20})} = \frac{\frac{71!}{51! \cdot 20!}}{\frac{80!}{60! \cdot 20!}} = \frac{71!}{51!} \cdot \frac{60!}{80!} . \end{matrix}

Egyszerűsítünk

71!

-sal és

51!

-sal, ekkor a számlálóban és a nevezőben is 9 egész szám szorzata marad:

\begin{matrix} p = \frac{52 \cdot 53 \cdot 54 \cdot 55 \cdot 56 \cdot 57 \cdot 58 \cdot 59 \cdot 60}{72 \cdot 73 \cdot 74 \cdot 75 \cdot 76 \cdot 77 \cdot 78 \cdot 79 \cdot 80} . \end{matrix}

A lehetséges egyszerűsítéseket elvégezve:

\begin{matrix} p = \frac{3 \cdot 29 \cdot 53 \cdot 59}{4 \cdot 5 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 79} = \frac{27 249}{4 267 580} \approx 0, 063 748. \end{matrix}

A keresett valószínűség közelítőleg

0, 06