Kezdőlap


Feladat:	C.605	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/október, 397 - 398. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Algebrai egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/december: C.605

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x \neq 0$ , mert akkor a nevezőkben 0 állna. Hozzuk közös nevezőre az egyenlet bal oldalát:

\begin{matrix} \frac{{x} + [x]}{{x} \cdot [x]} = x . \end{matrix}

A számlálóban

x

áll (a szám tört része és egész része magát a számot adja). Az

x \neq 0

-val egyszerűsítve és rendezve kapjuk, hogy

{x} \cdot [x] = 1

. Mivel

{x}

sohasem negatív, azért

[x] > 0

.
Legyen tehát

[x] = n > 1

egész, ekkor az egyenlet szerint

{x} = \frac{1}{n}

, tehát

x = [x] + {x} = n + \frac{1}{n}

. Könnyen látható, hogy ha

n

tetszőleges 1-nél nagyobb egész, akkor

0 < \frac{1}{n} < 1

miatt

[n + \frac{1}{n}] = n

és

{n + \frac{1}{n}} = \frac{1}{n}

; tehát az egyenlet megoldásai az

n + \frac{1}{n}

alakú számok, ahol

n > 1

egész.