Feladat:	B.3409	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2001/május, 292 - 293. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Középpontos tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/november: B.3409

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A tükrözés nem változtatja meg a parabola tengelyének állását, a tükörkép-parabola csúcspontja pedig az $y=x^2$ csúcspontjának, az origónak a tükörképe, koordinátái így $\left(2;2\right)$. A tükörkép-parabola egyenlete azért $\begin{array}{c}{\displaystyle y=a{\left(x-2\right)}^2+2}\end{array}$ alakban írható. Felhasználva, hogy az $\left(1;1\right)$ ponton a tükörkép-parabola is átmegy, az $a$ paraméter értéke is meghatározható: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 1=a{\left(1-2\right)}^2+\mathrm{2,}\text{ahonnan}a=-1.}\end{array}}}\end{array}$ A tükörkép egyenlete így $y=-x^2+4x-2$. Megjegyzés. A megoldásban felhasználtuk a parabola geometriáját, pontosabban azt, ahogyan a parabolát jellemző alkotórészek (tengelyek, csúcspont) megjelennek az alakzat egyenletében. Az alábbi megoldásban kizárólag azt az információt használjuk fel, amit egy görbe egyenlete tartalmaz.   II. megoldás. A $P\left(x;y\right)$ pont nyilván akkor és csak akkor van rajta a tükörkép-parabolán, ha az $\left(1;1\right)$ pontra való $P\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$ tükörképe rajta van az eredeti, $y=x^2$ egyenletű parabolán. A $P\left(x;y\right)$ tükörképe az $\left(1;1\right)$ pontra a $P\text{'}\left(2-x;2-y\right)$ pont, ez akkor és csak akkor illeszkedik az $y=x^2$ egyenletű görbére, ha koordinátáit az egyenletbe helyettesítve egyenlőséget kapunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2-y={\left(2-x\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Azt kaptuk, hogy $P\left(x;y\right)$ pontosan akkor illeszkedik a tükörkép-parabolára, ha koordinátáira fennáll (1), ami eszerint nem más, mint a tükörkép egyenlete. Átalakítva $\begin{array}{c}{\displaystyle y=2-{\left(2-x\right)}^2=-x^2+4x-2}\end{array}$ adódik.   Megjegyzés. A második megoldás módszere jóval általánosabb körülmények között is alkalmazható. Ha egy $M$ alakzat egyenlete $E\left(x;y\right)=0$ és az $M$ alakzat képe a $\Phi$ transzformáció során $\Phi \left(M\right)$, akkor a $\Phi \left(M\right)$ alakzat egyenlete $E\left({\Phi }_x^{-1}\left(x;y\right);{\Phi }_y^{-1}\left(x;y\right)\right)=0$, ahol $\left({\Phi }_x^{-1}\left(x;y\right);{\Phi }_y^{-1}\left(x;y\right)\right)$ a $P\left(x;y\right)$ pont képe a $\Phi$ transzformáció ${\Phi }^{-1}$ inverzének alkalmazása során. Ez annak a nyilvánvaló állításnak a következménye, hogy a $P$ pont akkor és csak akkor illeszkedik a $\Phi \left(M\right)$ alakzatra, ha a ${\Phi }^{-1}\left(P\right)$ pont illeszkedik az $M$ alakzatra.