Kezdőlap


Feladat:	C.602	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2001/április, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Konstruktív megoldási módszer, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/november: C.602

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy a nagy kocka belsejében legyen kis kocka, legalább $3 \times 3 \times 3 = 27$ kockát kell összerakni. Ez egyben a legkisebb lehetőség. Vizsgáljuk meg, hogyan változik a belső kockák száma, ha növeljük a nagy kocka oldalait. Készítsük el ehhez a következő táblázatot.

2. ábra

\begin{matrix} Összes kocka & Külső kockák & Belső kockák \\ száma & száma \\ 3 \times 3 \times 3 = 27 & 26 & 1 \\ 4 \times 4 \times 4 = 64 & 56 & 8 \\ 5 \times 5 \times 5 = 125 & 98 & 27 \\ 6 \times 6 \times 6 = 216 & 152 & 64 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix}

A 2. ábráról látható, hogy egy

n \times n \times n

-es kocka esetén a belső kockák száma

(n - 2) \times (n - 2) \times (n - 2)

, hiszen minden réteg esetén a szélső sorokat el kell hagyni, ezek fogják elfedni a belül lévő kockákat. A belül lévő kockák száma tehát

{(n - 2)}^{3}

. Kérdés, mikor lesz

{(n - 2)}^{3} > \frac{1}{2} n^{3}

.
Rendezve az egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \begin{matrix} n - 2 > n \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \\ n > \frac{2}{1 - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}} = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2} - 1} \approx 9, 69. \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

n

egész, legalább 10 kell, hogy legyen, vagyis a

10 \times 10 \times 10 = 1000

kis kockából összerakott nagy kocka esetén a belső kockák száma

8 \times 8 \times 8 = 512

, s ez valóban nagyobb az 1000 felénél.